§3. Рекуррентные соотношения. Задачи, приводящие к рекуррентным соотношениям

1. Задача о ханойских башнях (Задача Люка).

2. Задача Фибоначчи.

a(n+2) = a(n+1)+a(n).

a(0) = 1, a(1) = 2, …, a(12) = 377.

Общий вид рекуррентного соотношения:

f(n+k) = F(n, f(n), f(n+1), …, f(n+k–1)).

F = F^k+1, k – порядок соотношения.

Рекуррентные соотношения имеют бесконечно много решений:

1) f(n+1) = (n+1)f(n): Сn!

2) f(n+1) = f(n+1): C₁+C₂(–1)ⁿ.

Задав f(0) = ₀, f(1) = ₁, …, f(k–1) = _k–1, находим единственное решение.

Понятие общего решения рекуррентного соотношения Ф(с₁, с₂, …, с_k, n).

§ 4. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами

f(n+k) = _k–1f(n+k–1)+_k–2f(n+k–2)+ … ₁f(n+1)+₀f(n)+g(x). (1)

f(n+k) = _k–1f(n+k–1)+_k–2f(n+k–2)+ … ₁f(n+1)+₀f(n). (2)

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.

Примеры.

Геометрическая прогрессия: f(n+1) = qf(n).

Арифметическая прогрессия: f(n+2) = 2f(n+1)–f(n).

Теорема 1.

Общее решение рекуррентного соотношения (1) может быть представлено как сумма общего решения однородного рекуррентного соотношения (2) и некоторого фиксированного частного решения рекуррентного соотношения (1).

Теорема 2.

1. Множество решения линейного однородного рекуррентного соотношения (2) образует векторное пространство.

2. Размерность этого пространства равна k.

Если

₁, ₂, …, _s –

множество корней (характеристического) многочлена

f() = ^k–_k–1^k–1– _k–2 ^k–2– … –₁–₀,

кратности которых равны

r₁, r₂, …, r_s,

соответственно, то последовательности

 , n , n² , …, n  ,

 , n , n² , …, n  ,

…………………………,

 , n , n² , …, n 

образуют базис этого пространства.

Теорема 3.

Для любого линейного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами

f(n+k) = _k–1f(n+k–1)+_k–2f(n+k–2)+ … ₁f(n+1)+₀f(n)+R_m(n)ⁿ,

где R_m(n) – многочлен от n степени m и   0, существует решение вида

Q_m(n)ⁿ,

где Q_m(n) – многочлен от n степени m, если  не является корнем характеристического многочлена

^k–_k–1^k–1– _k–2^k–2– … –₁–₀,

и вида

n^rQ_m(n)ⁿ,

если  является корнем этого характеристического многочлена кратности r  1.

Глава 4. Конечные разности и суммы

§ 1. Конечные разности

f(x) = f(x+1)–f(x). ⁿf(x) = (^n–1f(x)).

Пример. Для f(x) = x³ найти его разности.

(Ef)(x) = x+1.

 = E–I, E = +I.

Теорема 1.

1.  – линейный оператор.

2. Е – линейный оператор.

3. Е = Е.

4. () = ; Е() = .

Следствие. ⁿf(x) = f(x+n)–

Теорема 2.

1. (fg) = f(g)+ (f)E(g).

2.  = .

Теорема 3.

1. xⁿ = x^n–1+ x^n–1+ … 1.

2. a^x = a^x(a–1); в частности, 2^x = 2^x.

§ 2. Факториальные многочлены

x = x(x–1)(x–2) … (x–n+1) – убывающая факториальная степень.

f(x) = a_nx +a_n–1x + … +a₁x+a₀.

Примеры записи многочлена в виде факториального многочлена и наоборот.

Важное свойство: x = nx .