Глава 2. Элементы теории графов

§ 1. Основные понятия теории графов

Графы, мультиграфы, псевдографы и их ориентированные аналоги. G = V, E.

Теорема 1. О числе графов заданного порядка

1°. Существует 2 различных графов порядка n.

2°. Существует 2 различных орграфов порядка n.

Подграфы. Теоретико-множественные операции над графами. Изоморфизм графов. Отношение изоморфизма. @.

Теорема 2. Об изоморфизмах графов

1°. Тождественное отображение графа является изоморфизмом.

2°. Отображение, обратное изоморфизму графов, является изоморфизмом графов.

3°. Композиция двух изоморфизмов графов является изоморфизмом графов.

4°.Отношение изоморфизма в классе графов является отношением эквивалентности.

Геометрическое представление графов.

Теорема 3. Всякий граф имеет геометрическое представление в R³.

Теорема 4. Если мультиграф имеет n вершин и m рёбер, то = 2m.

Следствие. В любом мультиграфе число вершин нечётной степени чётно.

Матрицы инциденций и смежности графа.

Путь, цепь, простая цепь, замкнутый путь, цикл (= замкнутая цепь), простой цикл. Длина пути. Расстояние между двумя вершинами. Диаметр графа.

Теорема 5.

1°. Всякий путь (в том числе цепь) мультиграфа содержит в качестве подпути простую цепь с теми же концами.

2°. Всякий замкнутый путь нечётной длины содержит простой цикл.

§ 2. Связные графы

Отношение связности. Компоненты связности. Связные графы.

Операции “добавление ребра” и “удаление ребра”.

Теорема 1. Если G связный граф, v_i, v_j – его различные не смежные вершины, G₁ = G+{v_i, v_j}, то G₁ обладает простым циклом.

Теорема 2. Если G связный граф, e – его ребро, входящее в некоторый цикл, G₁ = G – e, то G₁ – также связный граф.

Теорема 3. Если граф G имеет n вершин и m рёбер, то он имеет  n–m компонент связности. Если при этом G не имеет циклов, то он имеет в точности

n–m компонент связности.

Следствие. Если m  n – 2, то граф G не связный.

Теорема 4. Если граф G имеет n вершин и k компонент связности, то число его рёбер m удовлетворяет неравенствам

n – k  m 

Следствие 1. Любой граф с n вершинами и менее чем n–1 рёбрами не связный.

Следствие 2. Любой граф с n вершинами и более чем рёбрами связный.

§ 3. Деревья

Дерево = связный граф без циклов.

Теорема 1. Характеризационная теорема

Пусть G = V, E, = n, = m. Тогда следующие условия равносильны.

1. G – дерево.

2. G не содержит циклов и m = n–1.

3. G связный граф и m = n–1.

4. G связный граф, но при удалении любого ребра получаем не связный граф.

5. G не содержит циклов, но при добавлении любого ребра, отсутствующего в G, получаем граф, содержащий цикл.

6. Для любых двух вершин v_i и v_j из V существует единственный путь из v_i в v_j.

Примечание. Из 4 и 5 следует, что деревья – это минимальные связные графы и максимальные графы без циклов.

Теорема 2. Если дерево имеет  2 вершин, то оно имеет  2 висячих вершин.

Остовное (каркасное) дерево графа.

Теорема 3. Граф обладает каркасным деревом  граф связный.

Алгоритм Краскала. Жадные графы.

Теорема 4. Если степень любой вершины графа  2, то граф содержит цикл.