План-конспект курса «Дискретная математика»

Глава 1. Размещения, перестановки, сочетания

§ 1. Правило суммы и правило произведения

Правило суммы. Если А и В – конечные множества, не имеющие общих элементов, то n(AB) = n(A)+n(B).

Следствие 1. Если A₁, A₂, …, A_k – совокупность попарно не пересекающихся конечных множеств, то

n(A₁A₂ … A_k) = n(A₁)+ n(A₂) … n(A_k).

Следствие 2. Обобщённое правило суммы

n(AB) = n(A)+n(B)–n(AB).

Теорема 1. Правило включений и исключений

Для любой конечной совокупности А₁, А₂, …, А_k конечных множеств

n(А₁А₂ … А_k) = (n(А₁)+n(А₂)+ … +n(А_k)) –

–(n(А₁А₂)+n(А₁А₃)+ … +n(А_k–1А_k))+

+(n(А₁А₂А₃)+ … +n(А_k–2А_k–1А_k)) –

… +(–1)^k–1n(А₁ … А_k–1А_k).

Следствие 3. Если А₁, А₂, …, А_k – конечная совокупность подмножеств конечного множества А, то

n = n(A)–(n(А₁)+ n(А₂)+ …+n(А_k))+

+(n(А₁А₂)+n(А₁А₃)+ … +n(А_k–1А_k))–

– … +(–1)^kn(А₁ … А_k–1А_k).

Мнемическое правило: nA(1–₁)(1–₁) … (1–_k).

Теорема 2. Правило произведения

Если А и В – конечные множества, то n(AB) = n(A)n(B).

Следствие 4. Для любой конечной совокупности А₁, А₂, …, А_k конечных множеств

n(А₁А₂ … А_k) = n(А₁)n(А₂) … n(А_k).

§ 2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями

Размещения с повторениями и без повторений. , .

Теорема 1. О числе размещений

1. Число k- размещений n- элементного множества с повторениями равно

= n^k.

2. Число k- размещений n- элементного множества без повторений равно

= n(n–1)(n–2) … (n–k+1) = .

Перестановки без повторений и с повторениями. P_n, P(n₁, n₂, …, n_k)

Теорема 2. О числе перестановок

1. Число P_n перестановок n- элементного множества без повторений равно

P_n = n!.

2. Число P(n₁, n₂, …, n_k) перестановок n- элементного множества с повторениями равно

P(n₁, n₂, …, n_k) = .

Сочетания без повторений и с повторениями. С , .

Теорема 3. О числе сочетаний

1. Число С k- сочетаний n- элементного множества без повторений равно

С = .

2. Число k- сочетаний множества элементов n сортов с повторениями равно

= С .

§ 3. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Полиномиальная теорема

Теорема 1. Бином Ньютона

(x+y)ⁿ = .

Теорема 2. Cвойства сочетаний

1. = факториальное представление (n  k  0).

2. = свойство симметрии.

3. = внесение / вынесение.

4. = + сложение / разложение.

5. = триномиальный вариант.

6. = суммирование по верхнему индексу.

7. = суммирование по обоим индексам.

8. = свёртка Вандермонда.

9. = (x+y)ⁿ бином Ньютона.

10. = 2ⁿ.

11. = 0.

12. = 0.

Треугольник Паскаля.

Теорема 3. Полиномиальная теорема

.

§ 4. Системы счисления (систематические числа)

Представление натурального числа в виде суммы степеней натурального числа g, g > 1. Систематическая (позиционная) запись натурального числа: _g.

Теорема. Всякое натуральное число имеет, причём единственную, позиционную запись в любой системе с основанием g > 1.

Таблицы сложения и умножения в системе счисления с основанием g > 1.

Переход от одной системы счисления к другой. Правила деления и умножения: непосредственные и с промежуточным переходом к десятичной системе счисления.