Пример 8
Пусть
и
два множества, имеющие не пустое
пересечение. Рассмотрим
.
Тогда семейство
является покрытием множества
.
Семейство
является разбиением множества
.
2. Прямое произведение множеств
Мы
будем рассматривать упорядоченные
наборы
элементов, заключенные в круглые скобки,
вида
.
Элемент
называется
координатой данного набора. Число
координат называется длиной
набора.
Два набора
и
равны тогда и только тогда, когда
.
Прямым
произведением
множеств
и
называется множество
всех упорядоченных пар
таких, что
.
В
частности, если
,
то обе координаты принадлежат
и такое произведение обозначается
.
Аналогично, прямым произведением
множеств
называется множество
всех упорядоченных наборов
длины
таких, что
.
Для прямого произведения
используется обозначение.
.
В этом случае говорят, что
является
-й
прямой степенью множества
.
Пример 1
множество
точек плоскости, т.е.
.
Пример 2
Пусть
,
.
Прямому произведению
можно поставить в соответствие множество
клеток шахматной доски.
Пример 3
Пусть
– множество цифр. Тогда
можно поставить в соответствие множество
целых чисел
от
до
.
Свойства прямого произведения:
1.
,
;
,
;
,
;
,
.
Теорема
1. Пусть
– конечные множества и
,
.
Тогда мощность множества
равна произведению мощностей множеств
,
т.е.
.
Доказательство
Для доказательства применим метод математической индукции.
Для
теорема верна. Предположим, что теорема
верна для
.
Докажем, что утверждение теоремы
справедливо для
.
По
предположению
.
Возьмем любой набор
.
Припишем справа к нему элемент
из
.
Это можно сделать
разными способами. При этом получится
различных наборов из
.
Таким образом, из всех
наборов можно получить путем приписывания
справа элементов
всевозможных различных наборов из
.
Значит, теорема верна для
и, следовательно, верна для любого
.
Следствие.
.
3. Отношения и функции
Пусть
даны два множества
и
.
Бинарным
отношением
между элементами множеств
и
называется любое подмножество
множества
.
Если
,
то отношение
называется
бинарным отношением
на
.
Если
,
то говорят, что элементы
и
находятся в отношении . Вместо часто
используется обозначение .
Пример 1
Пусть А – множество мужчин, В – множество женщин
.
Пример 2
Пусть
.
Рассмотрим отношение «»,
т.е.
.
Это отношение выполняется для пар (5,
7), (2, 2), но не выполняется для пары (5, 4).
Пример 3
Пусть
.
Отношение «иметь общий делитель, отличный
от единицы» выполняется для пар (2,4),
(3,15), но не выполняется, например, для
любой пары
.
Для задания бинарных отношений на конечных множествах часто используется матричный способ.
Матрица
бинарного отношения на множествах
и
– это матрица размера
,
в которой элемент
,
стоящий на пересечении i-й строки и j-го
столбца, определяется следующим образом:
Например,
,
то для отношения «»
соответствующая матрица имеет вид
Областью
определения бинарного отношения
называется множество
.
Пример 4
Пусть
,
,
тогда
.
Пример 5
Пусть
,
,
тогда
.
Областью
значений бинарного отношения
называется множество
.
Пример 6
Пусть
,
,
тогда
.
Пусть
.
Множество
называется образом
в
.
Пример 7
Пусть
,
,
,
тогда
.
Пусть
b B. Множество
называется прообразом
в
.
Пример 8
Пусть
,
,
,
тогда
.
Пусть
.
Образом множества
относительно бинарного отношения
называется объединение образов всех
элементов
Пример 9
,
,
,
тогда
.
Если
,
то прообразом множества относительно
называется объединение прообразов всех
элементов D
.
Пример 10
,
,
,
тогда
.
Пусть R
– бинарное отношение на
.
Если
,
то
называется сужением
R.
Для отношений определены обычным образом
технико-множественные операции
объединения, пересечения, разности,
симметрической разности.
Дополнением
бинарного отношения R
между элементами
и
является множество
.
Пример 11
,
.
Дополнением является
.
Обратным
отношением для
бинарного отношения R
называется бинарное отношение
.
Пример 12
.
Обратным для
является
.
Пример 13
.
Обратным для отношения двух чисел «иметь
общий делитель 1»
будет оно само.
Произведением
или суперпозицией
отношений
и
называется отношение
.
Пример 14
.
Пусть
–
отношение «иметь общий делитель 1»,
.
,
,
тогда
.
Отношение
f называется
функцией
из
в
если
,
и для всех
из и следует .
Отношение
f
называется функцией
из
на
если
,
и для всех
из
и
следует
.
В этом случае говорят, что функция
сюръективна.
Ес-
ли
–
функция, то обычно используют обозначение
вместо
и
называют y значением функции
при значении аргумента x.
В том случае, когда нужно указать область
определения и область значений, используют
обозначение
.
Функция
называется 1-1
функцией,
если для любых
из того, что
и
следует
.