4. Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств

Теорема 2. Если между конечными множествами и существует взаимно-однозначное соответствие, то .

Доказательство

Так как существует взаимнооднозначное соответствие, то это означает, что существует функция , такая, что , и f – 1-1 функция. Предположим, что .

Пусть . Это означает, что в найдутся два различных элемента, которым соответствует один элемент В. Получаем противоречие с определением 1-1 функции.

Если , то поскольку , то в найдутся два элемента, которые соответствуют одному элементу из , что противоречит тому, что f функция.

Доказанная теорема позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих мощностей, а также дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимнооднозначное соответствие с множеством, мощность которого известна и легко вычисляется. На этом факте основана приведенная ниже теорема о количестве подмножеств конечного множества. Множество подмножеств множества называется булеаном и обозначается .

Теорема 3 . Пусть  конечное множество, тогда число подмножеств множества равно .

Доказательство

Пусть . Занумеруем элементы номерами от 1 до n: и рассмотрим множество упорядоченных наборов длины с координатами, состоящими из нулей и единиц. Каждому подмножеству поставим в соответствие упорядоченный набор следующим образом:

Очевидно, что установленное соответствие между множествами всех подмножеств А и двоичными наборами длины n является взаимнооднозначным и, значит, число подмножеств А равно В_n. А так как В_n является -й прямой степенью двухэлементного множеств {0, 1}, то в силу следствия теоремы о мощности прямого произведения конечных множеств В_n=2ⁿ. Теорема доказана.

Множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Множества равномощные (множеству натуральных чисел) называются счетными.

Любое бесконечное подмножество счетно. Действительно, пусть . Выберем  наименьший элемент в ; в выберем наименьший элемент и обозначим его ; в выберем наименьший элемент и обозначим его и так далее. Поскольку для всякого натурального числа имеется лишь конечное множество меньших натуральных чисел, то любой элемент из рано или поздно получит свой номер. Построенная нумерация устанавливает взаимнооднозначное соответствие между и .

Покажем, что множество счетно. Нумерацию элементов можно задать следующим образом. Разобьем на классы. К первому классу отнесем все пары чисел с минимальной суммой. Такая пара всего одна: (1,1). Ко второму классу отнесем все пары чисел с суммой равной 3:. В общем случае. Каждый класс содержит ровно пар.

Упорядочим классы по возрастанию индексов , а пары внутри класса – по возрастанию первого элемента и занумеруем получившуюся последовательность пар номерами 1,2, 3 … .

Пара получит номер . Таким образом, счетность доказана.

Из счетности следует счетность положительных рациональных чисел. Аналогично можно доказать счетность для любого натурального . Можно также показать, что объединение конечного числа счетных множеств счетно, объединение счетного множества конечных множеств счетно, объединение счетного числа счетных множеств счетно. Но не все множества являются счетными.

Теорема 4. (Кантора).

Множество всех действительных чисел отрезка [0,1] не является счетным.

Доказательство

Предположим, что множество действительных чисел отрезка счетно и существует его нумерация. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями, в порядке этой нумерации:

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

такую, что , . Эта дробь не может войти в указанную последовательность, так как от каждого числа с номером i она отличается i-й цифрой. Следовательно, все числа из отрезка [0,1] не могут быть пронумерованы и множество всех действительных чисел отрезка [0,1] несчетно.

Мощность множества действительных чисел отрезка называется континуум; множества такой мощности называются континууальными.