2. Прямое произведение множеств

Мы будем рассматривать упорядоченные наборы элементов, заключенные в круглые скобки, вида . Элемент называется координатой данного набора. Число координат называется длиной набора. Два набора и равны тогда и только тогда, когда .

Прямым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что .

В частности, если , то обе координаты принадлежат и такое произведение обозначается . Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех упорядоченных наборов длины таких, что . Для прямого произведения используется обозначение. . В этом случае говорят, что является -й прямой степенью множества .

Пример 1.

множество точек плоскости, т.е. .

Пример 2

Пусть ,. Прямому произведению можно поставить в соответствие множество клеток шахматной доски.

Пример 3 Пусть – множество цифр. Тогда можно поставить в соответствие множество целых чисел от до .

Свойства прямого произведения:

1. ,

;

2. ,

;

2. ,

;

2. ,

.

Теорема 1. Пусть – конечные множества и ,

. Тогда мощность множества равна произведению мощностей множеств, т.е. .

Доказательство.

Для доказательства применим метод математической индукции.

Для теорема верна. Предположим, что теорема верна для . Докажем, что утверждение теоремы справедливо для .

По предположению . Возьмем любой набор . Припишем справа к нему элемент из . Это можно сделать разными способами. При этом получится различных наборов из . Таким образом, из всех наборов можно получить путем приписывания справа элементов всевозможных различных наборов из . Значит, теорема верна для и, следовательно, верна для любого .

Следствие. .

3. Отношения и функции

Пусть даны два множества и .

Бинарным отношением между элементами множеств и называется любое подмножество множества . Если , то отношение называется бинарным отношением на .

Если , то говорят, что элементы и находятся в отношении . Вместо часто используется обозначение .

Пример 1

Пусть А – множество мужчин, В – множество женщин

Пример 2

Пусть . Рассмотрим отношение “”, т.е. . Это отношение выполняется для пар (5,7), (2,2), но не выполняется для пары (5,4).

Пример 3

Пусть . Отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется для пар (2,4), (3,15), но не выполняется, например, для любой пары .

Для задания бинарных отношений на конечных множествах часто используется матричный способ.

Матрица бинарного отношения на множествах и – это матрица размера , в которой элемент , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, определяется следующим образом:

Например, , то для отношения “” соответствующая матрица имеет вид

Областью определения бинарного отношения называется множество

.

Пример 4

Пусть , , тогда .

Пример 5

Пусть , , тогда .

Областью значений бинарного отношения называется множество

.

Пример 6

Пусть , , тогда .

Пусть . Множество называется образом в .

Пример 7

Пусть , , , тогда .

Пусть b  B. Множество называется прообразом в .

Пример 8

Пусть , , , тогда .

Пусть . Образом множества относительно бинарного отношения называется объединение образов всех элементов

Пример 9

, , , тогда .

Если , то прообразом множества относительно называется объединение прообразов всех элементов D

.

Пример 10

, , , тогда .

Пусть R – бинарное отношение на . Если, то называется сужением R. Для отношений определены обычным образом технико-множественные операции объединения, пересечения, разности, симметрической разности.

Дополнением бинарного отношения R между элементами и является множество .

Пример 11

, . Дополнением является .

Обратным отношением для бинарного отношения R называется бинарное отношение .

Пример 12

. Обратным для является .

Пример 13

. Обратным для отношения двух чисел “иметь общий делитель 1” будет оно само.

Произведением или суперпозицией отношений и называется отношение

.

Пример 14

. Пусть– отношение “иметь общий

делитель 1”,.

, тогда .

Отношение f называется функцией из в , если , и для всех из и следует .

Отношение f называется функцией из на , если , и для всех из и следует . В этом случае говорят, что функция сюръективна. Если – функция, то обычно используют обозначение вместо и называют y значением функции при значении аргумента x. В том случае, когда нужно указать область определения и область значений, используют обозначение .

Функция называется 1-1 функцией, если для любых из того, что и , следует .

Пример 15

1) Функция является 1-1 функцией, если , и не является 1-1 функцией, если ее рассматривать на всей вещественной оси.

2) Функция, которая каждому человеку ставит в соответствие его дату рождения, не является 1-1 функцией.

Функция осуществляет взаимно-однозначное соответствие между А и В, если , и – 1-1 функция.

Пример 16

1. функция, которая ставит в соответствие каждому студенту данного вуза его номер студенческого билета, осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множеством студентов данного вуза и множеством номеров студенческих билетов, выданных на данный момент времени;

2. функция , заданная на множестве действительных чисел, осуществляет взаимнооднозначное соответствие между ее областью определения и областью значений.

Если обратное отношение к функции f является функцией, то оно называется функцией, обратной к , и обозначается .

Так как в обратном отношении образы и прообразы меняются местами, то для существования функции обратной к , требуется, чтобы каждый элемент имел единственный прообраз. Это означает, что для функции обратная функция существует тогда и только тогда, когда осуществляет взаимнооднозначное соответствие между областью определения и областью значений.