2. Суперпозиции и формулы

Пусть даны функции и . Говорят, что функция получена подстановкой в , если имеет место равенство , где .

Пусть задано множество функций типа: . Тогда возможны любые подстановки этих функций друг в друга, а также любые переименования аргументов. Например, переименование в порождает из функции четырех аргументов функцию трех аргументов . Функция, полученная из некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией . Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой. Формулы, как правило, состоят из других формул (подформул) и поэтому имеют древовидную структуру. При этом важно такое понятие, как глубина формулы.

Пусть дано множество логических функций . Символы переменных есть формулы глубины 0.

Формула имеет глубину , если она имеет вид , где ,  число аргументов , а подформулы, максимальная из глубин которых равна . Функция называется внешней или главной операцией формулы .

Пример 1

1.  формула глубины 1.

2.  формула глубины 2, содержащая подформулу глубины 1. Если, например,  дизъюнкция,  конъюнкция, то данная формула имеет вид .

Всякая формула, выражающая функцию как суперпозицию других функций, задает способ ее вычисления. Этот способ определяется следующим очевидным правилом: формулу можно вычислить, только если можно вычислить все ее подформулы.

Для заданного набора значений аргументов можно вычислить значения всех подформул и получить значение функции. Таким образом, формула каждому набору значений аргументов ставит в соответствие значение функции и, следовательно, может наряду с таблицей служить способом задания и вычисления функции. В частности, по формуле, вычисляя ее на всех наборах, можно восстановить таблицу функции. О формуле, задающей функцию, говорят, что она реализует или представляет эту функцию. В отличие от табличного представление данной функции формулой не единственно. Например, функцию можно представить формулами , . Формулы, представляющие одну и ту же функцию, называются эквивалентными или равносильными. Эквивалентность формул обозначается знаком равенства. Например, . Эквивалентность формул можно установить путем построения таблиц по каждой формуле и последующего их сравнения.

2.3. Двойственность логических функций

Функция называется двойственной к , если . Беря отрицание над обеими частями равенства и подставляя вместо , получим

,

т.е. функция является двойственной к . Таким образом, отношение двойственности логических функций является симметричным. Двойственная функция к обозначается . Если функция совпадает с функцией, которая является двойственной к ней, то такая функция называется самодвойственной.

Пример 1

1. Двойственные функции: , , , .

2. Самодвойственные функции: , , .

Справедлив следующий принцип двойственности. Если в формуле , представляющей функцию , все знаки функций заменить на двойственные им, то полученная формула будет представлять функцию , двойственную к .

Пример 2

Пусть логическая функция задается формулой . Используя принцип двойственности, построим формулу, реализующую двойственную функцию к данной. Так как , , , то получаем .

3. Булева алгебра логических функций и эквивалентные преобразования в ней.

3.1. Разложение функций по переменным

Обозначим следующую функцию . Тогда легко проверить, что выполняются равенства

Теорема 1

Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

(3.1)

где дизъюнкция берется по всем наборам значений переменных .

Доказательство

Равенство (3.1) проверяется подстановкой в обе части произвольного набора . Поскольку , только когда ,

то среди наборов только та конъюнкция равна 1, для которой . Все остальные конъюнкции равны 0.

Представление логической функции (3.1) называется разложением по переменным

При получаем разложение функции по одной переменной

(3.2)

При m=n разложение имеет вид

, (3.3)

где дизъюнкция берется по всем единичным наборам функции .

Существует другое разложение по переменным, в котором в отличие от (3.1) дизъюнкции меняются на конъюнкции, а конъюнкции  на дизъюнкции.

Теорема 2

Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

(3.4) где конъюнкция берется по всем наборам значений переменных .

Доказательство

Равенство (3.4) проверяется подстановкой в обе части равенства (3.4) произвольного набора . Поскольку , только когда , то среди наборов только та дизъюнкция равна 0, для которой . Все остальные дизъюнкции равны 1.

При получаем разложение функции по одной переменной

. (3.5)

При m=n разложение имеет вид

. (3.6)

В равенствах (3.3) и (3.6) произвольная логическая функция представлена в виде формулы, содержащей знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.