
II. Алгебра логики
1. Понятие алгебры
Функция
типа
называется
-арной
операцией на множестве
;
называется арностью
операции.
Множество
вместе с заданной на нем совокупностью
операций
называется алгеброй,
при этом используется обозначение
.
называется
основным или
несущим
множеством алгебры
.
Упорядоченный набор
,
где
-
арность операции
,
называется типом
алгебры,
совокупность операций
сигнатурой.
Множество
называется
замкнутым
относительно операции
на
,
если значения
на аргументах
из
принадлежат
.
Если
замкнуто относительно всех операций
алгебры
,
то алгебра
называется подалгеброй
.
Пример 1
1.
Алгебра
называется полем
действительных чисел.
Тип
.
Все конечные подмножества, кроме
,
не замкнуты относительно обеих операций.
Подалгеброй этой алгебры является поле
рациональных чисел.
2.
Алгебра
есть алгебра подмножеств множества
.
Ее тип
.
-
Логические функции
Мы
будем рассматривать множество
,
в котором элементы 0 и 1 есть не числа в
обычном смысле, а несут следующую
логическую интерпретацию: 0
ложь, 1
истина.
Алгебра,
образованная множеством
вместе со всеми возможными операциями
на нем, называется алгеброй
логики.
Функцией
алгебры логики
или логической
функцией от
переменных называется
-арная
операция на
.
Итак, логическая функция
это функция, принимающая значения 0 или
1, аргументы которой тоже принимают
значения 0 или 1. Множество всех логических
функций обозначается
,
множество всех логических функций
переменных
.
Всякая логическая функция
переменных может быть задана таблицей,
в левой части которой перечислены все
упорядоченных наборов значений переменных
из
элементов 0 или 1. В правой части таблицы
располагаются значения функции на этих
наборах. Такие таблицы называются
таблицами
истинности.
Наборы
значений переменных, на которых функция
принимает значение 1, называют единичными
наборами функции
.
Наборы, на которых
принимает значение 0, называют нулевыми
наборами функции
.
Ниже дан пример табличного задания
логической функции трех переменных.
|
|
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 1 0 0 1 1 0 0 |
Логическая
функция
переменных полностью определяется
вектор-столбцом своих значений,
размерность которого равна числу наборов
значений функции, т.е.
.
Отсюда число различных функций
переменных
равно числу различных двоичных наборов
длины
и, следовательно, равно
.
Переменная
в функции
называется фиктив-ной,
если при любых значениях остальных
переменных выполняется равенство
.
В
этом случае функция
,
по существу, зависит от
переменной, т.е. представляет собой
функцию
.
Говорят, что
получена из
удалением фиктивной переменной, а
получается из
введением фиктивной переменной.
Переменные функции
,
которые не являются фиктивными, называются
существенными.