5. Специальные бинарные отношения
Мы
будем рассматривать бинарные отношения,
заданные на непустом множестве
.
Бинарное
отношение R на множестве
называется рефлексивным,
если
для всех
.
Если бинарное отношение рефлексивно и
конечное множество, то главная диагональ
матричного представления содержит
только единицы.
Бинарное
отношение R на множестве А
называется антирефлексивным,
если для всех
.
В матричном представлении главная
диагональ антирефлексивного бинарного
отношения содержит только нули.
Пример 1
1.
Отношение «» на множествах
и
рефлексивно, а отношение «<»
антирефлексивно.
2.
Отношение «иметь общий делитель» на
множестве
рефлексивно.
3. Отношение «быть симметричным относительно оси х» не является ни рефлексивным ни антирефлексивным.
Бинарное
отношение называется симметричным,
если
.
То есть для любой пары отношение
выполняется в обе стороны либо не
выполняется вообще. Матрица симметричного
отношения симметрична относительно
главной диагонали.
Отношение
R называется антисимметричным,
если из
и
следует x
=
y.
Пример 2
1.
Отношение «
»
является симметричным.
2.
Отношение на множестве
«иметь общий делитель 1» является
симметричным.
3. Отношение «» является антисимметричным.
Бинарное
отношение называется транзитивным,
если
и
.
Пример 3
1.
Отношение «=» на
является транзитивным:
и
.
2.
Отношение «» на
является транзитивным.
3.
Отношение включения для множеств
транзитивно:
и
.
4.
Отношение «
»
не транзитивно: из
и
не следует
.
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пример 4
1.
Отношение равенства на
есть отношение эквивалент-ности.
2. Отношение подобия треугольников есть эквивалентность.
3.
Отношение «иметь один и тот же остаток
от деления на какое-либо число» является
эквивалентностью на
.
Пусть
на множестве
задано отношение эквивалентности R.
Тогда можно разбить множество
на классы эквивалентных элементов.
Действительно, возьмем произвольный
элемент
и образуем класс
,
состоящий из
и всех элементов, эквивалентных
.
Затем выберем
(если такой найдется) и образуем класс
,
состоящий из
и всех элементов, эквивалентных
и т.д. Получается система классов
(возможно бесконечная) такая, что любой
элемент из А
входит хотя бы в один класс, т.е.
.
Эта система классов обладает следующими легко проверяемыми свойствами:
1)
система образует разбиение
,
такое, что классы попарно не пересекаются;
2) любые два элемента из одного класса эквивалентны;
3) любые два элемента из разных классов неэквивалентны.
Построенное
разбиение, т.е. система классов называется
системой
классов эквивалентности
по отношению к R
или фактор-множеством
по R.
Мощность этой системы называется
индексом
разбиения.
С
другой стороны, любое разбиение
на классы определяет некоторое отношение
эквивалентности, а именно, отношение
«входить в один и тот же класс данного
разбиения».
Пример 5
1.
Все классы эквивалентности
по отношению равенства состоят из одного
элемента.
2. Разбиение множества треугольников на классы эквивалентности по отношению подобия.
3. Разбиение N по отношению «иметь общий остаток от деления на 3»:
,
,
.
Бинарное
отношение на множестве
называется предпорядком
на
,
если оно рефлексивно и транзитивно.
Рефлексивное,
транзитивное и антисимметричное
отношение на множестве А называется
частичным
порядком на
.
Такие бинарные отношения часто обозначаются символом «». Тогда аксиомы частичного порядка можно записать в виде:
1)
для всех
– рефлексивность;
2)
из
и
следует x
= y
– антисимметричность;
3)
из
и
следует
– транзитивность.