Доказательство

Преобразуем и в СДНФ. Поскольку и эквивалентны, то их СДНФ совпадают. Обратив преобразование от СДНФ к , получим эквивалентное преобразование от к: .

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которых каждая переменная встречается не более одного раза.

Примеры элементарных дизъюнкций: , , , .

Конъюктивной нормальной формой (КНФ) называется формула, имеющая вид конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Примеры КНФ: , .

Основные отличия СКНФ от КНФ:

а) если в СКНФ в каждой дизъюнкции присутствуют все переменные функции с отрицанием или без отрицания, то в дизъюнкциях, входящих в КНФ, могут отсутствовать некоторые переменные;

б) для каждой логической функции существует только одна СКНФ, в то время как КНФ может быть не единственной для одной и той же логической функции.

Пример 4

Следующие две КНФ эквивалентны: . Им соответствует СКНФ

Для одной логической функции переход от КНФ к ДНФ можно осуществить с помощью эквивалентных преобразований. Для этого выполняется следующая последовательность действий:

1) с помощью дистрибутивного закона переходят к конъюнкциям: ;

2) удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях с помощью эквивалентностей: , , ;

3) удаляются лишние константы с помощью эквивалентностей: , .

Приведение логической функции к СКНФ можно осуществить двумя способами:

1) с помощью таблиц истинности;

2) с помощью эквивалентных преобразований; сначала строят КНФ, а затем СКНФ.

При использовании эквивалентных преобразований для приведения к КНФ выполняется следующая последовательность действий:

1) с помощью эквивалентных преобразований все подформулы выражаются в виде суперпозиции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания;

2) все отрицания с помощью двойного отрицания и законов де Моргана «спускаются до переменных»;

3) с помощью закона дистрибутивности переходят к конъюнкции дизъюнкций;

4) удаляются лишние дизъюнкции и переменные в них с помощью эквивалентностей: , , ;

5) удаляются лишние константы в элементарных дизъюнкциях: , , .

Переход от КНФ к СКНФ осуществляется с использованием эквивалентности .

Рассмотрим последовательность действий для перехода от ДНФ к КНФ:

1) с помощью дистрибутивного закона переходят к конъюнкциям элементарных дизъюнкций;

2) удаляются лишние дизъюнкции с помощью законов , и лишние переменные в дизъюнкциях , ;

3) удаляются лишние константы в элементарных дизъюнкциях: , , .

5. Минимизация логических функций

В данном разделе рассматривается проблема минимизации логических функций как задача нахождения среди всех ДНФ, эквивалентных данной функции, той, которая содержит минимальное вхождение букв.

5.1. Основные определения

Импликантой функции называется такая элементарная конъюнкция над множеством , что

.

Пример 1

1. Формула поглощения ,  импликанта.

2. Рассмотрим функцию трех переменных, заданную в виде таблицы.

СДНФ этой функции задается формулой

0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Любая элементарная конъюнкция в формуле является импликантой. Элементарные конъюнкции , , тоже являются импликантами.

Импликанта функции называется простой импликантой, если после отбрасывания любой буквы из получается конъюнкция, не являющаяся импликантой.

Например, для функции ,  простые импликанты;  импликанта, но не простая.