3.3. Основные свойства булевых операций

1. Ассоциативность:

,

2. Коммутативность:

, ;

3. Дистрибутивность:

, ;

4. Идемнотентность:

, ;

5. Двойное отрицание: ;

6. Свойства констант:

, ;

, ;

, ;

7. Законы де Моргана:

, ;

8. Закон противоречия: ;

9. Закон «исключенного третьего»:

Все эти равенства остаются справедливыми при подстановке вместо переменных любых логических функций и, следовательно, любых формул, представляющих эти функции. При этом необходимо соблюдать следующее правило подстановки формулы вместо переменной: при подстановке формулы F вместо переменной все вхождения переменной в исходной равенство должны быть одновременно заменены формулой F.

Это правило подстановки позволяет получить из приведенных соотношений новые эквивалентные соотношения.

Если какая-либо формула F содержит F₁ в качестве подформулы, то замена F₁ на эквивалентную формулу даст эквивалентную F.

В этом заключается правило замены подформул, которое позволяет, используя эквивалентные соотношения, получать формулы, эквивалентные данной.

Преобразования формул, использующие эквивалентные соотношения и правило замены, называются эквивалентными преобразованиями.

Эквивалентные преобразования являются мощным средством доказательства эквивалентности формул.

Рассмотрим некоторые основные эквивалентные преобразования в булевой алгебре. Отметим, что в булевой алгебре принято опускать скобки в следующих двух случаях:

а) при последовательном выполнении нескольких конъюнкций или дизъюнкций, например, или ;

б) если они являются внешними скобками у конъюнкции: например, вместо

Оба соглашения совершенно аналогичны общепринятому опусканию скобок для умножения в арифметических формулах.

Рассмотрим некоторые эквивалентности, позволяющие делать упрощения в формулах в процессе эквивалентных преобразований:

а) Поглощение:

; .

Доказательство первого равенства: . Второе равенство сводится к первому, если применить дистрибутивный закон в левой части.

б) Склеивание:

Доказательство: .

в) Обобщенное склеивание: .

Доказательство:

.

г) .

Доказательство: .

д) .

Равенство д) проверяется подстановкой двух возможных значений переменной : 0 или 1.

4. Нормальные формы

Разложение логической функции по всем переменным в виде

, (4.1)

называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Из того, что для любой логической функции существует разложение по переменным, следует, что любая логическая функция, кроме 0, может быть представлена в виде СДНФ. Из построения СДНФ, видно, что такое представление однозначно.

Для построения СДНФ можно использовать таблицу функции. Так как в представлении (4.1) участвуют только единичные наборы, и , только когда , и , только когда , то для каждого единичного набора составляется конъюнкция переменных по следующему правилу: переменная входит в конъюнкцию без отрицания, если в наборе она равна 1, и с отрицанием, если в наборе ее значение равно 0. СДНФ есть дизъюнкция построенных таким образом конъюнкций.