Пример 2

Пусть логическая функция задается формулой . Используя принцип двойственности, построим формулу, реализующую двойственную функцию к данной. Так как , , , то получаем .

3. Булева алгебра логических функций и эквивалентные преобразования в ней

3.1. Разложение функций по переменным

Обозначим следующую функцию . Тогда легко проверить, что выполняются равенства

Теорема 1

Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

(3.1)

где дизъюнкция берется по всем наборам значений переменных .

Доказательство

Равенство (3.1) проверяется подстановкой в обе части произвольного набора . Поскольку , только когда , то среди наборов только та конъюнкция равна 1, для которой . Все остальные конъюнкции равны 0.

Представление логической функции (3.1) называется разложением по переменным

При получаем разложение функции по одной переменной

. (3.2)

При m = n разложение имеет вид

, (3.3)

где дизъюнкция берется по всем единичным наборам функ- ции .

Существует другое разложение по переменным, в котором в отличие от (3.1) дизъюнкции меняются на конъюнкции, а конъюнкции  на дизъюнкции.

Теорема 2

Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

(3.4)

где конъюнкция берется по всем наборам значений переменных .

Доказательство

Равенство (3.4) проверяется подстановкой в обе части равенства (3.4) произвольного набора . Поскольку , только когда , то среди наборов только та дизъюнкция равна 0, для которой . Все остальные дизъюнкции равны 1.

При получаем разложение функции по одной переменной

. (3.5)

При m = n разложение имеет вид

. (3.6)

В равенствах (3.3) и (3.6) произвольная логическая функция представлена в виде формулы, содержащей знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

3.2. Булева алгебра функций

Формулы, содержащие кроме переменных только знаки функций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания называются булевыми формулами.

Теорема 3

Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т. е. как суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и от-рицания.

Доказательство

Для всякой функции, кроме константы 0, таким представлением может служить ее разложение по все переменным. Константу 0 можно представить формулой .

Пусть функция задана формулой , а функция формулой . Подстановка и в дизъюнкцию дает формулу . Если взять и , то будет эквивалентна формуле . При этом обе эти формулы представляют одну и ту же логическую функцию, которую мы обозначим Таким образом, дизъюнкцию можно рассматривать как бинарную операцию на множестве логических функций, которая каждой паре логических функций и независимо от формул, которыми они представлены, однозначно ставит в соответствие функцию

Аналогично можно рассматривать конъюнкцию и отрицание как операции над логическими функциями.

Если рассматривать множество логических функций Р₂ и три операции , то алгебра называется булевой алгеброй логических функций.

Операции булевой алгебры называют булевыми операциями.