2.2. Суперпозиции и формулы
Пусть
даны функции
и
.
Говорят, что функция
получена подстановкой
в
,
если имеет место равенство
,
где
.
Пусть
задано множество функций типа:
.
Тогда возможны любые подстановки этих
функций друг в друга, а также любые
переименования аргументов. Например,
переименование
в
порождает из функции четырех аргументов
функцию трех аргументов
.
Функция, полученная из
некоторой подстановкой их друг в друга
и переименованием аргументов, называется
суперпозицией
.
Выражение, описывающее эту суперпозицию
и содержащее функциональные знаки и
символы аргументов, называется формулой.
Формулы, как правило, состоят из других
формул (подформул) и поэтому имеют
древовидную структуру. При этом важно
такое понятие, как
глубина формулы.
Пусть
дано множество логических функций
.
Символы переменных
есть формулы
глубины 0.
Формула
имеет глубину
,
если она имеет вид
,
где
,
число аргументов
,
а
подформулы, максимальная из глубин
которых равна
.
Функция
называется внешней
или главной
операцией
формулы
.
Пример 1
1.
формула глубины 1.
2.
формула глубины 2, содержащая подформулу
глубины 1. Если, например,
дизъюнкция,
конъюнкция, то данная формула имеет вид
.
Всякая
формула, выражающая функцию
как суперпозицию других функций, задает
способ ее вычисления. Этот способ
определяется следующим очевидным
правилом: формулу можно вычислить,
только если можно вычислить все ее
подформулы.
Для
заданного набора значений аргументов
можно вычислить значения всех подформул
и получить значение функции. Таким
образом, формула каждому набору значений
аргументов ставит в соответствие
значение функции и, следовательно, может
наряду с таблицей служить способом
задания и вычисления функции. В частности,
по формуле, вычисляя ее на всех
наборах, можно восстановить таблицу
функции. О формуле, задающей функцию,
говорят, что она реализует
или представляет
эту функцию. В отличие от табличного
представление данной функции формулой
не единственно. Например, функцию
можно представить формулами
,
.
Формулы, представляющие одну и ту же
функцию, называются эквивалентными
или равносильными.
Эквивалентность формул обозначается
знаком равенства. Например,
.
Эквивалентность формул можно установить
путем построения таблиц по каждой
формуле и последующего их сравнения.
2.3. Двойственность логических функций
Функция
называется двойственной
к
,
если
.
Беря отрицание над обеими частями
равенства и подставляя
вместо
,
получим
,
т.
е. функция
является двойственной к
.
Таким образом, отношение двойственности
логических функций является симметричным.
Двойственная функция к
обозначается
.
Если функция
совпадает
с функцией, которая является двойственной
к ней, то такая функция называется
самодвойственной.
Пример 1
1.
Двойственные функции:
,
,
,
.
2.
Самодвойственные функции:
,
,
.
Справедлив
следующий принцип
двойственности.
Если в формуле
,
представляющей функцию
,
все знаки функций заменить на двойственные
им, то полученная формула
будет представлять функцию
,
двойственную к
.