II. Алгебра логики

1. Понятие алгебры

Функция типа называется -арной операцией на множестве ; называется арностью операции. Множество вместе с заданной на нем совокупностью операций называется алгеброй, при этом используется обозначение . называется основным или несущим множеством алгебры . Упорядоченный набор , где – арность операции , называется типом алгебры, совокупность операций  сигнатурой.

Множество называется замкнутым относительно операции на , если значения на аргументах из принадлежат . Если замкнуто относительно всех операций алгебры , то алгебра называется подалгеброй .

Пример 1

1. Алгебра называется полем действительных чисел. Тип  . Все конечные подмножества, кроме , не замкнуты относительно обеих операций. Подалгеброй этой алгебры является поле рациональных чисел.

2. Алгебра есть алгебра подмножеств множества . Ее тип  .

2. Логические функции

Мы будем рассматривать множество , в котором элементы 0 и 1 есть не числа в обычном смысле, а несут следующую логическую интерпретацию: 0  ложь, 1 истина.

Алгебра, образованная множеством вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики.

Функцией алгебры логики или логической функцией от переменных называется -арная операция на . Итак, логическая функция  это функция, принимающая значения 0 или 1, аргументы которой тоже принимают значения 0 или 1. Множество всех логических функций обозначается , множество всех логических функций переменных  . Всякая логическая функция переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все упорядоченных наборов значений переменных из элементов 0 или 1. В правой части таблицы располагаются значения функции на этих наборах. Такие таблицы называются таблицами истинности.

Наборы значений переменных, на которых функция принимает значение 1, называют единичными наборами функ- ции . Наборы, на которых принимает значение 0, называют нулевыми наборами функции . Ниже дан пример табличного задания логической функции трех переменных.

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 1 0 0 1 1 0 0

Логическая функция переменных полностью определяется вектор-столбцом своих значений, размерность которого равна числу наборов значений функции, т. е. . Отсюда число различных функций переменных равно числу различных двоичных наборов длины и, следовательно, равно .

Переменная в функции называется фиктивной, если при любых значениях остальных переменных выполняется равенство

.

В этом случае функция , по существу, зависит от переменной, т. е. представляет собой функцию . Говорят, что получена из удалением фиктивной переменной, а получается из введением фиктивной переменной. Переменные функции , которые не являются фиктивными, называются существенными.