1 0. Изменение закона распределения случайной величины при нелинейном преобразовании.

a) Одномерный случай

Пусть случайная величина x имеет закон распределения ω(x). y = g(x). Необходимо найти ω(y).

В ероятностная мера интервалов сохраняется. P попадания в Δx = P попадания в Δy.

ω(x)dx – вероятность x попасть в dx.

ω (y) = ω(x)|dx/dy| - вероятность не зависит от знака производной, поэтому берется модуль.

x = h(y) – обратная функция. ω(y) = ω_x(h(y))

Если присутствует линейная зависимость, то:

y = kx + b, y = kx + b. Математическое ожидание y по сравнению с x изменится в k раз.

Основные два момента в преобразованиях: 1) Тип распределения сохраняется 2) Параметры (М.О., дисперсия) меняются.

b) Многомерный случай

Пусть дан многомерный закон распределения ω(ξ₁, ξ₂, …, ξ_n). Нам надо найти ω(η₁, η₂, …, η_n), если η₁ = g(ξ₁, …, ξ_n), … , η_n = g(ξ₁, …, ξ_n).

П редположим, есть обратное преобразование: ξ₁ = h₁(η₁, η₂, …, η_n), …, ξ_n = h_n(η₁, η₂, …, η_n).

d V_ξ = d_ξ1 d_ξ2 … d_ξn

dV_η = d_η1 d_η2 … d_ηn

Тогда ω(ξ₁, ξ₂, …, ξ_n) dV_ξ = ω(η₁, η₂, …, η_n) dV_η

ω(η₁, η₂, …, η_n) = ω_ξ(h₁(η₁, η₂, …, η_n), …, h_n(η₁, η₂, …, η_n))| dV_ξ / dV_η|, где

- Якобиан преобразования -

11. Числовые характеристики случайных величин. Физическая интерпретация среднего и дисперсии.

Помимо закона распределения, случайную величину можно описать рядом числовых характеристик.

Математическое ожидание (среднее значение). Физический смысл – координата центра масс системы.

Д ля дискретных величин: М.О случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Для непрерывных величин: М.О. непрерывной случайной величины ξ с плотностью распределения называется число, определяемое

р авенством Предполагается, что интеграл, стоящий в правой части равенства существует.    Свойства:    1°. М. О. постоянной равно этой постоянной.    2°. Постоянный множитель можно выносить за знак М. О., т.е.

   3°. М. О. суммы нескольких случайных величин равно сумме М.О. этих величин:

    4°. М. О. произведения двух независимых случайных величин равно произведению М.О. этих величин:

Мода случайной величины – её наиболее вероятное значение.

Медиана случайной величины – её значение, делящее площадь, ограниченную кривой распределения пополам.

Н ачальные моменты: Начальным моментом i-ого порядка случайной величины называется математическое ожидание i-ой степени этой случайной величины. Для дискретной величины: для непрерывной:

Центральные моменты (центрированная случайная величина - Å = A - Ā):

Центральный момент порядка i случайной величины – математическое ожидание i-ой степени центрированной случайной величины.

1-ый порядок всегда равен нулю, 2-ой – это дисперсия, 3-ий – для асимметрии, 4-ый – для эксцесса.

Д исперсия – М.О. квадрата соответствующей центрированной величины. Физический смысл – момент инерции. Дисперсия (D) – характеристика рассеивания. Имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому вводят среднеквадратическое отклонение σ = D^½.

    Свойства:    1°. Дисперсия постоянной равна нулю.    2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

    3°. Если ξ и η- независимые случайные величины , то дисперсия суммы равна сумме их дисперсий:

Асимметрия. S_k = μ₃ / σ³. Если он больше нуля, то график круче слева и положе справа и наоборот.

Эксцесс. Ex = μ₄ / σ⁴ – 3. Чем он больше, тем острее график. 0 – эксцесс нормального закона распределения.