31. Гипотеза о дисперсии нормального закона распределения.

Это типичная задача контроля величины случайной ошибки в параллельных наблюдениях некоторой характеристики исследуемого объекта. Так как превышение характеристики случайной погрешности σ некоторого номинала σ₀ влечет за собой более серьезные последствия, чем просто увеличение разброса значений.

Н₀: σ > σ ₀ причем m неизвестно.

H₁: σ ≤ σ₀

е сть сост. оценка σ², её распределение не зависит от m, а случайная величина nS² / σ² имеет χ²-распределение с n-1 степенью свободы. Т. о, разумно рассмотреть критерий с критической областью nS² < C. Ф-ия мощности критерия:

Она убывает с ростом σ, поэтому наибольшее значение вероятности ошибки 1^го рода достигается при σ = σ₀, и критическое значение С(α) критерия требуемого размера α определяется из уравнения K_n-1(C σ₀^-2) = α. Итак, С(α) = σ₀²K_n-1^-1(α);

Вероятность ошибки 2^го рода:

Эта вероятность монотонно убывает по мере отхода истинного значения σ от номинала σ₀.

32. Получение случайной величины с заданным законои распределения посредством нелинейного преобразования случайной величины с равномерным законом распределения.

Е сть 2 случ. величины x и y. Известен закон распределения w(x) величины х, он не равномерный. у связана с х зависимостью у=g(x). Надо найти связь y=g(x). w(y) задан и равномерный.

Сохраняется жесткость при отображении одного интервала в другой.

Вероятность попасть в dx = вероятности попасть в dy.

w(x)dx=w(y)dy. w(x)dx=1dy. _-^х w(x)dx = 1_-^y dy. y = F(x). x = F^-1(y) <- ф-ция, обратная интегральной.

y ₁, y₂,…,y_n – базовая последовательность.

w(x) – ф-ция, которая должна совпасть с искомой

О пыт состоит из 2х испытаний. Плотность одинакова, точки равновероятны. (y₁,y₂) – пара величин, определяющая точку.

Если эта точка попала в В, y₂ отбрасывается, а y­₁ считается выходной величиной. Так рассматриваются все пары

S(B)/S(ab) – вероятность того, что точка попадет в B. P(x|B)=P(xB)/P(B)=f(x)dx/S(B)=w(x|B)dx.

32. Оценка параметров по методу максимального правдоподобия.

Пусть x – дискретная случайная величина, которая в результате n испытаний приняла значения x₁, x₂, …,x_n. Допустим, что вид закона распределения величины x задан, но неизвестен параметр θ, который определяет этот закон. Требуется найти его точечную оценку.

Для x (вектор) и θ можно записать двумерный закон w(θ, x): w(θ. x) = w(θ) w(x | θ) = w(x) w(θ | x). w(θ) – априорная вероятность.

Оценка по max апостериорной вероятности: значение θ, которое удовлетворяет max апостериорной функции w(θ | x). Однако:

w(θ | x) = w(θ) w(x | θ) / w(x). w(x | θ) – функция правдоподобия = L(θ).

Значение θ, которое доставляет max функции правдоподобия, называется правдоподобной оценкой (оценка по методу макс. правдоп.)

Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию ln L. Как известно, точку max функции ln L аргумента θ можно найти:

1) Найдя производную dln L / dθ.

2) Приравняв производную к нулю и найдя критическую точку – корень полученного уравнения.

3) Найдя вторую производную. Если вторая производная при θ = θ* отрицательная, то θ* - точка максимума.

Найденную точку максимума θ* принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра θ.