30. Марковские эргодические последовательности.

Ц епью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий A₁,A₂,…,A_k полной группы, причем условная вероятность p_ij(S) того что в S-ом испытании наступит A_j, j=1…k, при условии, что в (S-1)-ом испытании наступило событие A_i, i=1…k, не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Цепью Маркова с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени.

Цепью Маркова с непрерывным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит в любые возможные случайные моменты времени.

Однородной называется цепь Маркова, если вероятность перехода p_ij(S) не зависит от номера испытания. Поэтому: p_ij(S) ~ p_ij.

Вероятностью перехода p_ij называют условную вероятность того, что из состояния i в итоге следующего испытания система перейдет в состояние j.

Матрица перехода системы – матрица, которая содержит все переходные вероятности системы:

С умма вероятностей перехода любой строки матрицы = 1 (они образуют полную группу событий).

Обозначим через P_ij(n) вероятность того, что в результате n шагов система перейдет из состояния i В состояние j. При n=1: P_ij(1)=P_ij.

Задача: зная вероятности перехода p_ij найти P_ij(n). Введем в рассмотрение промежуточное состояние r. Будем считать, что из состояния i в состояние r система перейдет за m шагов: P_ir(m), а за оставшиеся n – m шагов из состояния r в состояние j с вероятностью P_rj(n – m). По формуле полной вероятности: Эта формула называется равенством Маркова.

31. Программное генерирование случайных чисел. Алгоритмы.

Последовательности случ чисел, вырабатываемые детермининистскими способами (т.е. по алгоритмам) называются псевдослучайными.

Задачу генерирования случ чисел на ЭВМ с заданным законом распределения решают в несколько этапов:

- Получают последовательность равномерно распределенных псевдослучайных чисел на интервале [0,1].

- Из равномерно распределенной последовательности получают последовательность псевдослучайных чисел с заданным законом распределения в заданном интервале.

Сущность алгоритмич методов получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел заключается в том, что псевдослучайные числа получают с помощью некоторой рекуррентной формулы x_i+1=f(x_i), где каждое следующее значение образуется из предыдущего путем применения некоторого алгоритма, содержащего логические и арифметические операции.

Общие требования для всех методов: количество операций для получения каждого псевдослучайного числа должно быть минимально.

Случайные числа генерируются как можно менее коррелированными, а их распределение – близким к равномерному.

а) метод серидины квадратов (метод Неймана).

Из квадрата предыдущего случайного числа берутся средние цифры:

₀=0,9876, ₀²=0,97535376,

₁=0,5353, ₁²=0,28654609,

₂=0,6546, … и.т.д

Недостатки: Если какой-то член = 0, то все за ним = 0. Последовательности имеют тенденцию зацикливаться.

б) линейный конгруэнтный метод.

Берется 4 числа: x₀  0 – нач. значение, a  0 – множитель, с  0 – приращение, m – модуль (>x₀, >а, >с). Последовательность получается из соотношения x_i+1 = (ax_i + c) mod m, каждое следующее число – остаток от деления (ax_i + c) на m.

Полученная последовательность называется линейной конгруэнтной. Метод получения случайных чисел при с = 0 называется мультипликативным конгруэнтным, при с  0 – смешанным конгруэнтным.

Выбор m: для получения длинных последовательностей и увеличения скорости вычисления рекомендуется m выбирать = размеру машинного слова.

Линейные конгруэнтные последовательности могут быть обобщены, к примеру, в квадратичный конгруэнтный метод:

x_i+1 = (dx_i² + ax_n + c) mod m.

* Квадратичный метод Р. Ковэю: x_i+1 = x_i (x_i + 1) mod (2^e),

* Последовательность Фибоначчи: x_i+1 = x_i + x_i – 1) mod m,

* Метод Грина: x_i+1 = (x_i + x_i – k) mod m.