29. Приближенные методы генерирования случайных чисел с заданным законом распределения.

Метод обратной функции (нелинейного преобразования).

Случайный процесс подвергается нелинейному преобразованию. Теоретической базой для определения вида и характеристик нелинейной ф-ции является теория функций случайного аргумента.

Пусть случайная величина x имеет плотность распределения вероятности f_x(x), а необходимо получить выходную величину Y с плотностью f_y(y). Т.о. надо определить вид нелинейной ф-ции преобразования y = g(x).

Известно, что f_x(x)dx = f_y(y)dy; dx/dy = f_y(y)/f_x(x). Пусть обратная ф-ция: x = t(y), тогда t’(y) = f_y(y)/f_x(x).

Приближенный метод моделирования.

Для многих случаев интегральную ф-цию нельзя найти аналитически, тогда применятеся этот метод. Он основан на использовании ПСЧ (=приближ. случ. число?) с равномерным законом распределения, кусочно-линейной интерполяции функции распределения и решение задачи обратной интерполяции.

При кусочно-линейной интерполяции ф-цию распределения представим в виде:

Тогда обратная ф-ция:

(*)

С учетом того, что при генерировании ПСЧ x_n = F_y(y_n) получим:

Т.к. координаты узловых точек F(y_n) рассчитываются заранее, окончательно получим:

Отсюда следует, что необходимо задавшись допустимой погрешностью  восстановления F_y(y), видом интерполяции, определить узловые точки {y_n – F_y(y_n)} и А. Затем, возпользовавшись (*), сгенерировать ПСЧ с требуемым законом распределения.

Метод Неймана. (см. №7).

29. Метод моментов при оценке параметров.

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного закона распределения состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

а) Пусть задан вид плотности распределения f(x; θ), определяемой неизвестным параметром θ. Требуется найти его точечную оценку.

Д ля оценки одного параметра достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Следуя методу моментов, приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: S₁ = M₁. Тогда: M(x) = x_B

Математическое ожидание:

φ(θ) есть функция от θ, поэтому M(x) можно рассматривать как уравнение с одним неизвестным θ. Решим это уравнение относительно параметра θ, тем самым найдем его точечную оценку θ*, которая является функцией от вариант выборки: θ* = ψ(x₁, x₂, …, x_n).

б) Пусть задан вид плотн. распред. f(x; θ₁, θ₂), определяемой неизвестными параметрами θ₁ и θ₂. По методу моментов: S₁ = M₁, μ₂ = m₂.

У читывая, что S₁ = M(x), μ₂ = D(x), M(x) = x_B, m₂ = D_B получим: M(x) = x_B и D(x) = D_B.

Решив эти два уравнения относительно неизвестных параметров θ₁ и θ₂ получим θ₁* и θ₂*. Эти оценки являются функциями от вариант выборки: θ₁* = ψ₁(x₁, x₂, …, x_n) θ₂* = ψ₂(x₁, x₂, …, x_n).

30. Гипотеза о среднем значении случайной величины с нормальным законом распределения при известной дисперсии.

Есть две случайные величины A и E с нормальным законом распределения. Получим две независимые выборки объемами n₁ и n₂ из указанных генеральных совокупностей. H₀: M(A)=M(E), H₁: |M(A) – M(E)|>0. _x², _y² – известны. М(A), М(E) – неизвестны, для их оценки используем средние выборочные Ā, Ē (они подчиняются нормальному закону распределения).

Рассм. случ. величину Ā – Ē. В силу независимости выборок эта случ. величина подчиняется нормальному закону, ее дисперсия:

D(Ā – Ē) = D(Ā) + D(Ē) = _x²/n₁ + _y²/n₂.

Если гипотеза H₀ верна, то тогда M(Ā – Ē) = 0.

Величина z = (Ā – Ē)/ (_x²/n₁ + _y²/n₂) с параметрами (0,1).

Выбирая уровень значимости  или доверительную вероятность P=1 –  можно записать:

P{|Ā – Ē|/(_x²/n₁ + _y²/n₂)  z_p} = {P = 1 – } = Ф(z_p), Ф(z) = ( 2/(2) )₀^z exp(–t²/2)dt

Выбирая по величине интеграла z_p мы делим выборочные данные на область допустимых значений и на критическую область.

Для области, где выполняется неравенство |z| z_p – область допустимых значений, H₀ принимается.

Чем меньше , тем меньше вероятность отклонить H₀ если она верна (совершить ошибку Iго рода).

[Из другого менее достоверного источника:

Есть выборка X={X₁,…,X_n} из нормального распределения N(a,²) с известной дисперсией ².

Проверяется простая гипотеза H₀ = {a=a₀} против сложной альтернативы H₁ = {aa₀}. _ __

Построим критерий точного размера  с помощю ф-ции отклонения: (X) =  (X – a₀)/.

Очевидно свойство: если H₀ верна, то (X) имеет нормальное распределение.]