19.Разложение Карунена-Лоэва.
Задача в том, чтобы подобрать i так, чтобы корреляционная ф-ция вычислялась простейшим образом.
Элементарная случайная ф-ция – ф-ция вида i (t) = ii(t).
i – коэффициенты канонич. разложения (случ. величины с нулевым средним),
i(t) – координатные ф-ции канонич. разложения (детерминированные).
- каноническое разложение.
i и j выбираются случайным образом, но так, чтобы они были некоррелированы.
В разложении Карунена-Лоэва: i’i(t), i’ – нормированная: i’= i / i
i (t) = iii(t)
(t1,t2)
= i2ii(t1)i(t2)
Домножая на j(t2) и интегрируя по области определения получим:
j(t) – собственные функции интегрального уравнения,
i – собственные значения.
19. Определение акф случайного процесса.
Для описания динамики случайного процесса вводится АКФ, которая отражает зависимость между сечениями случайного процесса, взятыми в моменты времени t1, t2, т.е. АКФ случайного процесса есть неслучайная функция двух аргументов:
Свойства:
При t1 = t2, ρ(t1, t2) = σ2(t)
ρ(t1, t2) = ρ(t2, t1)
r(t1, t2) = ρ(t1, t2) / σ(t1)σ(t2) - нормированная корреляционная функция
АКФВР – временная АКФ, вычисляемая для детерминированного процесса. Ее можно вычислить для каждой реализации.
АКФСТАТ – статическая АКФ.
Если АКФВР и АКФСТАТ совпадают при t → ∞, то случайный процесс – стационарный со свойством эргодичности. АКФВР – случайна, АКФСТАТ - получается.
З
начения
АКФ большинства случайных процессов
убывают с ростом аргумента τ.
Корреляционная функция Ky(τ)
суммы
Стационарный
случайных процессов xi(t)
определяется формулой:
20. Канонические разложения случайных величин.
При решении задач на практике используют метод канонических разложений. Его идея в том, что случайная ф-ция, над которой надо произвести преобразования, предварительно представляется в виде суммы так называемых элементарных случайных функций.
Элементарная случайная ф-ция – ф-ция вида X(t) = V(t), где V – случ. величина, (t) – обычная неслучайная ф-ция.
Характерность ЭСФ: в ней разделены две особенности случ. ф-ции: случайность сосредоточена в V, а зависимость от времени – в (t).
Характеристики ЭСФ:
М.О. ЭСФ: mX(t) = M[V(t)] = mV(t), если mV = 0, то М.О. ЭСФ mX(t) = 0.
Корреляционная ф-ция ЭСФ: КХ(t,t’) = m[X(t)X(t’)] = (t)(t’) M[V2] = (t)(t’)DV.
П
усть
есть случайная ф-ция: X(t)
= mX(t)+
X(t)
Ее можно представить в виде: – каноническое разложение случайной ф-ции.
mX(t) – мат. ожидание случ. ф-ции, i(t) – координатные ф-ции, Vi – некоррелированные случ. величины с мат. ожиданиями = 0.
Каноническое разложение корреляционной ф-ции:
Если
t=t’,
то получим дисперсию случ. ф-ции:
20. Два определения случайного процесса и их эквивалентность.
a) (из Лекций) Случайный процесс – это ансамбль функций с заданной вероятностью их появления (вероятностной мерой). Пространство элементарных функций есть ансамбль функций. Случайный процесс считается заданным, если задан его ансамбль функций и его вероятностная мера. Сечение случайного процесса представляет собой случайную величину. Случайный процесс – случайная величина, зависящая от t (ξ(t)). Случайная величина считается заданной, если задан закон распределения w(x; t).
б) (из Гмурмана) Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.
- Случайную функцию можно рассматривать как совокупность случайных величин {x(t)}, зависящих от параметра t.
Реализацией случайной функции x(t) называется неслучайная функция аргумента t, равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания. Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций. Очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.
- Случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.
- Случайным процессом называют случайную функцию аргумента t.