Принцип Гюйгенса-Френеля

Строгое решение любой дифракционной задачи для световых волн сводится к нахождению решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями.

В оптике большое значение имеет приближенное решение дифракционных задач, основанное на принципе Гюйгенса-Френеля:

1. Каждая точка, до которой доходит волна, служит источником вторичных сферических волн, огибающая которых дает положение волнового фронта в следующий момент времени (Х. Гюйгенс).

2.Амплитуда результирующей волны в любой точке пространства может быть найдена как результат интерференции всех вторичных волн, источниками которых являются элементарные площадки dS с учетом их фаз и амплитуд (О.Френель):

E = = (a₀ / r) cos(ωt – kr + α) dS , (1)

где (ωt + α) – фаза колебаний в месте расположения волновой поверхности S;

k – волновое число;

r – расстояние от элемента поверхности dS до точки наблюдения P;

a₀ – множитель, определяемый амплитудой колебаний в месте нахождения dS;

k(φ) – коэффициент, зависящий от угла φ между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке наблюдения P.

Дифракция Френеля и Фраунгофера

Если λ - длина волны, b - размеры препятствия или отверстия, L - расстояние от препятствия до точки наблюдения, то различают следующие ситуации:

(2)

Различают два случая дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие и лучи, идущие в точку наблюдения, образуют практически параллельные пучки, а фронт волны является плоским, то говорят о дифракции Фраунгофера или о дифракции в параллельных пучках. В противном случае говорят о дифракции Френеля.

Дифракция Фраунгофера на щели (рис.1).

В случае дифракции Фраунгофера параметр b²/(Lλ) << 1. Это значит, что если размер препятствия или отверстия b ≈  λ, то расстояние до экрана наблюдения - L >> b.

Пусть на длинную щель шириной b падает плоская монохроматическая волна с длиной λ.

Поместим между щелью и экраном наблюдения линзу так, чтобы экран наблюдателя находился в фокальной плоскости линзы. Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах (L → ∞).

Рис.1. Дифракция от щели

Рис.2. Векторная диаграмма

Разобьем мысленно щель на полоски шириной dx и изобразим векторную диаграмму колебаний (рис.2), посылаемых этими полосками в точку наблюдения P. При φ = 0 колебания от всех полосок будут иметь одинаковую фазу.

Результирующее колебание в точке P получится в результате сложения сонаправленных бесконечно малых векторов. Векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид вектора длиной A₀. Для колебаний, приходящих от щели в точку наблюдения P, расположенную под углом φ, векторная диаграмма имеет вид дуги окружности длиной A₀. При этом

δ_φ = Σ δ_i = N δ . (3)

Замыкающий эту дугу вектор A_щ является амплитудой результирующего колебания от щели при произвольном угле φ. Фазовый угол δ соответствует максимальной разности хода, равной Δ = b sinφ . Так как

δ = (2π/λ)∙Δ, (4)

то

δ = (2π/λ)∙b sinφ . (5)

Величину вектора A_щ найдем из геометрических соображений. По теореме о центральном угле:

δ ≈ А₀/ R. (6)

Из треугольника COB:

А_щ/2 = R · sin [(2π – δ)/2] = R · sin (δ/2). (7)

Исключив R из (6), получим:

А_щ = А₀ | [sin (δ/2) ]/ (δ/2) | . (8)

При значениях φ, удовлетворяющих условию: πb·sinφ/λ = ±mπ , амплитуда А₀ обращается в ноль, следовательно, условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели имеет вид:

b·sinφ = m λ, m = ±1,±2. . . (9)

При значениях φ, удовлетворяющих условию: πb·sinφ/λ = ± (m + ½)π , амплитуда одной из зон окажется нескомпенсированной, следовательно, условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели будет иметь вид:

b·sinφ = m λ + λ/2, m = ±1,±2. . . (10)

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:

I_щ (φ) = I₀ ·[ sin² (δ/2) ]/ (δ/2)². (11)

Учитывая связь δ с разностью хода Δ, получим связь интенсивности дифрагировавшего света с параметрами разбираемой задачи:

I_щ (φ) = I₀ · {sin² [(π b/ λ) sinφ]}/ [(π b/ λ) sinφ]². (12)

Здесь I₀ – интенсивность при φ = 0.

График этой функции I = f(sinφ )  имеет следующий вид (рис.3):

Рис.3. График функции I = f(sinφ )