7.2. Неравенства Маркова и Чебышева

Доказательство закона больших чисел основано на неравенстве Чебышева. Неравенство Маркова в литературе иногда называется леммой Маркова или леммой Чебышева, так как оно является частным случаем неравенства Чебышева.

Лемма Маркова. Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа α справедливо неравенство

P(Х ≥ α ) ≤ М(Х/α). (7.1)

События Х < α и Х ≥ α – противоположные, поэтому, используя (7.1), получаем

Р(Х < α ) = 1–Р(Х ≥ α ) ≥ 1– М(Х)/α . (7.2)

Выражения (7.1–7.2) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.

Пример 7.1. Дана случайная величина X:

Xi	2	4	6	8	10	12
Pi	0,1	0,2	0,25	0,15	0,15	0,15

Пользуясь неравенством Маркова, оценим вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11.

Решение. Исходя из условия, будем рассуждать так:

(Х < 11) = Р(X = 2) + Р(Х = 4)+ Р(Х = 6) + Р(Х = 8)+Р(Х = 10) =

= 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,15 + 0,15 = 0,85.

Используя неравенство Маркова (7.2), получаем

Р(Х < 11) ≥1 – М(Х)/11 = 1–(2·0,1 + 4·0,2 + 6·0,25 + 8·0,15 + 10·0,15 +

+ 12·0,15)/11 = 1– (0,2 + 0,8 + 1,5 + 1,2 + 1,8)/11 = 1 – 7/11 =

= 1 – 0,636 = 0,364. Р(Х < 11) ≥ 0,364.

Пример 7.2. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20 000 000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100 000, равна 0,8. Определим число вкладчиков сберегательной кассы.

Решение. Пусть X – величина случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что М(Х) = = 20 000 000/n; Р(X < 100 000) = 0,8, и по неравенству Маркова Р(X < < 100 000) ≥ 1– М(Х)/100 000.

Таким образом, 0,8 ≥ 1 – 20 000 000 / (n·100 000); 20 000 000 / / (n·100 000) ≥ 0,2; 200 ≥ n·0,2; n ≤ 1000.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу величиной

1–D(X)/ε², т.е. Р(|X – M(X)|< ε) ≥ 1–D(X)/ε². (7.3)

Из (7.3) переходом к противоположному событию можно получить:

Р(|X–M(X) | ≥ ε) ≤ D(X)/ε². (7.4)

Пример 7.3. Вероятность наступления некоторого события р = 0,3 в каждом из n = 900 независимых испытаний. Используя неравенство Чебышева, оценим вероятность того, что событие повторится число раз, заключенное в пределах от m₁ = 240 до m₂ = 300.

Решение. Здесь по условиям задачи имеет место биномиальный эксперимент. Следовательно, М(X) = а = пр = 900∙0,3 = 270;

ε = |240–270| = |300–270| = 30; D(X) = npq = 900∙0,3∙0,7 = 189;

Р(|X–270| < 30) ≥ 1 – D(X)/ε² = 1–189/30² = 1–0,21 = 0,79,

т.е. Р(|X–270| < 30 ≥ 0,79.

7.3. Теорема Чебышева (частный случай)

Теорема устанавливает в количественной форме связь между средней арифметической наблюдаемых значений случайной величины X и М(X) = а.

Теорема. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е. для любого положительного ε

Р(|– а| < ε) = 1. (7.5)

Смысл выражения « сходится по вероятности к a» состоит в вероятности того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для конечного n

Р(|– M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)/(n∙ε²). (7.6)

Если в (7.6) взять сколь угодно малое ε >0 и n , то

что и доказывает теорему Чебышева.

Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( – а) не превзойдет заданную величину ε.

Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р(|– а|< ε и максимальной допустимой ошибке ε, определить необходимое число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события |–а|<ε.

Пример 7.4. Дисперсия случайной величины X равна 4. Опредеим, сколько потребуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?

Решение. По условию задачи ε = 0,5; Р(|– а| < 0,5) ≥ 0,9; n = ? Применив формулу (7.6), получим P(|– M(X)| < ε) ≥ ≥ 1–D(X)/(n∙ε²). Из соотношения 1–D(X)/(nε²) = 0.9 определяем п = D(X)/(0,1ε²) = 4/(0,1∙0,25) = 160.

Если использовать утверждение, что в любом случае средняя арифметическая распределена примерно нормально, то получаем:

Р(|–а|< ε) = 2Φ₀(≥ 0,9. Откуда, воспользовавшись таблицей интеграла вероятностей, получим ≥ 1,645, или ≥ 6,58, т. е. n ≥ 49.

Пример 7.5. Дисперсия случайной величины D(X) = 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определим максимальную величину ошибки, допускаемой при этом, с вероятностью не менее 0,8.

Решение. По условию n = 100, Р(|– а|< ε) ≥ 0,8. ε = ? Применяем формулу (7.6)

Р(|-а|< ε) ≥ 1–D(X)/(nε²).

Из соотношения 1–D(X)/(nε²) = 0,8 определяем ε

ε² = D(X)/(0,2∙n) = 5/(0,2∙100) = 0,25; ε = 0,5.