4.9. Геометрическое распределение

Рассмотрим биномиальный эксперимент с обычными условиями. Пусть вместо вычисления числа успехов в независимых испытаниях случайная величина определяет число испытаний до первого успеха. Такая случайная величина распределена по закону геометрического распределения. Вероятности геометрического распределения вычисляются по формуле

P(m) = pq^m–1, (4.I8)

где т = 1, 2, 3, ...; p и q – биномиальные параметры. Математическое ожидание геометрического распределения

M(m)= 1/p, (4.19)

а дисперсия σ² = D(m) = q/p² . (4.20)

Например, число деталей, которые мы должны отобрать до того, как найдем первую дефектную деталь, есть случайная величина, распределенная по геометрическому закону. В чем здесь смысл математического ожидания? Если доля дефектных деталей равна 0, 1, то вполне логично, что в среднем мы будем иметь выборки, состоящие из 10 деталей до тех пор, пока не встретим дефектную деталь.

Пример 4.16. Исследования в некотором регионе показали, что пепси-кола занимает 33,2 % рынка безалкогольных напитков, а кока-кола 40,9 %. Исследователи рынка собираются провести новое исследование, чтобы проверить вкусы и предпочтения потребителей пепси-колы. Потенциальные участники отбираются случайным образом среди потребителей безалкогольных напитков. Определим вероятность того, что случайно отобранный потребитель пьет пепси-колу. Рассчитаем вероятность того, что среди (двух, трех, четырех) отобранных потребителей безалкогольных напитков первым будет найден потребитель пепси-колы.

Решение. Пусть «успех» в единичном испытании с вероятностью 0,332 есть событие «первый случайно отобранный потребитель предпочитает пепси-колу». Используя геометрическое распределение при т=1, найдем из формулы (4.18): Р(1) = 0,332∙0,688⁰ = 0,332. Точно так же первый выбранный человек не будет, а второй будет потребителем пепси-колы с вероятностью P(2) = 0,332∙0,688¹ = 0,2218. Вероятность того, что двое потребителей, не употребляющих пепси-колу, будут проинтервьюированы до того, как первый потребитель пепси-колы будет найден, равна P(3) = 0,332∙0,688² = 0,1481. И окончательно P(4) = 0,332∙0.688³ = 0,099.