Биномиальное распределение X – числа гербов, появляющихся при четырех подбрасываниях монеты

X = m	0	1	2	3	4
P(x) = P4,m	0,0625	0,2500	0,375	0,2500	0,0625

С увеличением числа испытаний расчет вероятностей по формуле (4.1) становится все более громоздким. Существуют специальные таблицы, в которых табулированы значения вероятностей биномиального распределения для различных п и р. Иногда в литературе предлагаются таблицы, в которых табулированы значения интегральной функции 1–F(x) = Р(Х ≥ х). Табл. 4.3 воспроизводит значения функции при п = 4. Найдем кумулятивную вероятность, которой соответствует распределение, представленное в табл. 4.2. Заметим, что для p = 0,5

т. е. в общем виде

Р(Х) = F(x) – F(x–1). (4.3)

Вероятность, равная 0,3750, корреспондирует с вероятностью при т = 2 в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Фрагмент таблицы F(x) = Р(Х ≤ х) биномиального распределения

т	0	1	2	3	4
P(X ≤ x)= = F(x)	0,06250	0,3125 = 0,0625 + + 0,2500	0,6875 = 0,3125 + + 0,3750	0,9375 = 0,6875 + + 0,2500	1,0000 = 0,9375 + + 0,0625

Для случайной величины Y (пример 4.2) найдем вероятности того, что предпочтут личный транспорт: а) 5 человек из 8; б) не более 5 человек; в) не менее 5 человек. По условию р = 0,3. Значит, надо определить P(Х = 5), Р(Х ≤ 5), Р(Х ≥ 5).

Таблица 4.4

Фрагмент таблиц ряда и функции биномиального распределения

Х = т	Р(Х = т) = = Сnm рmqп–m	Р(Х ≤ m) = = F1(x)	Р(Х < х) = = F(x)	Р(Х ≥ x) = = 1–F(x)
0 1 2 3 4	0,058 0,198 0,296 0,254 0,136	0,058 0,256 0,552 0,806 0,942	0 0,058 0,256 0,552 0,806	1 0,942 0,745 0,448 0.194
5	0,047	0,989	0,942	0,058

И тогда P(X = 5) = 0,047; Р(Х ≤ 5) = 0,989; P(X ≥ 5) = 0,058.

4.4. Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения

Пусть случайная величина X – число т наступления некоторого события в n независимых испытаниях. Общее число X появлений этого события в испытаниях X_i = т = Х₁ + Х₂ +...+ Х_п, где X_i – число появлений события в i-м испытании (i = 1, 2, ..., п). Так как вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна р (q – вероятность ненаступления события), то для каждой случайной величины X_i имеем распределение вероятностей:

xi	0	1
pi	q	p

Следовательно, М(Х₁) = М(Х₂) =...= М(Х_n); М(Х_i) = 0∙q + 1p = p. Из (3.4), получим:

Математическое ожидание случайной величины X (частоты появления события в п независимых испытаниях), подчиняющейся биномиальному распределению, равно произведению числа испытаний п на постоянную вероятность успеха р в каждом отдельном испытании. Следует отметить, что частость (m/n) также можно рассматривать как случайную величину, и тогда

М(т/п) = 1/n∙М(т) = 1/n∙(np) = р. (4.4)

Математическое ожидание частоты биномиального распределения

М(X) = n/p. (4.5)

Аналогично рассуждая, получим D(X_i) = М(X_i²) –М²(X_i) =

= 0²∙q + 1²∙p – p² = p∙(1 – p) = p∙q;

D(X) = σ² = D(X₁) + D(X₂) +…+ D(X_n) =D(X_i) = n∙p∙q. (4.6)

Если роль случайной величины играет т/п, то

D(m/n) = 1/п²∙D(m) = 1/n²∙n∙p∙q = p∙q/n. (4.7)

Стандартное отклонение биномиального распределения

σ = . (4.8)

Используя формулы (4.4) и (4.5), найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X – числа появления гербов при четырех подбрасываниях монеты, М(Х) = пр = 4∙0,5 = 2. При достаточно большой серии испытаний по четыре подбрасывания монеты можно ожидать, что в среднем при четырех подбрасываниях монеты выпадет два герба. D(X) = n∙p∙q = 4∙0,5∙0,5 = 1,00, а σ = 1,00.

Пример 4.4. В отдел верхней одежды универмага один за другим входят трое посетителей. По оценкам менеджера, вероятность того, что вошедший посетитель совершит покупку, равна 0,3. Чему равна вероятность того, что ни один из посетителей ничего не купит? Один из посетителей купит что-либо? Двое из трех вошедших в магазин людей совершат покупку? Все трое купят что-нибудь в отделе?

Решение. Проверим задачу на соответствие условиям биномиального эксперимента.

1. Эксперимент описан как последовательность трех идентичных испытаний – по одному испытанию для каждого из трех посетителей, входящих в универмаг.

2. Два исхода – посетитель совершает покупку (успех) или не совершает покупку (неуспех) – возможны для каждого отдельного испытания.

3. Вероятность каждой покупки равна 0,3, вероятность непокупки – 0,7.

4. Решение о покупке для каждого из покупателей не зависит от решений других покупателей.

Рассчитаем вероятности биномиального распределения, применяя формулу (4.1), и результаты представим в виде таблицы (табл. 4.5).

Таблица 45