4. Законы распределения дискретных

случайных величин

4.1. Схема повторных испытаний.

Биномиальное распределение

Пример 4.1. Монета подбрасывается 4 раза, пусть X – число появившихся гербов.

Пример 4.2. Известно, что в определенном городе 30 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 8 человек. Пусть Y – число людей в выборке, предпочитающих личный автотранспорт.

Пример 4.3. Известно, что 15 % деталей, произведенных автоматом, – бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 деталей. Пусть Z – число дефектных деталей.

В примерах X, Y, Z – дискретные случайные величин, подчиняющиеся биномиальному распределению. Биномиальное распределение базируется на эксперименте, состоящем в последовательности испытаний Бернулли (схеме повторных испытаний).

Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события.

2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1–р.

3. Все п испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Успех и неуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности п испытаний Бернулли.

Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1–р) – соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и р.

В примере 4.1 п = 4, р = 0,5 – параметры биномиального распределения случайной величины X. Последовательные подбрасывания монеты – независимые эксперименты; исходы – «цифра» или «герб» (успех – неуспех) и вероятности их выпадения постоянны от испытания к испытанию.

В примере 4.2 п = 8, р = 0,3 – параметры биномиального распределения случайной величины Y. Заметим, что случайная выборка из большой генеральной совокупности предполагает независимость испытаний. Мы полагаем, что число людей в городе (генеральная совокупность) намного больше, чем число испытаний, и случайный отбор небольшого числа людей не влияет на ту часть оставшихся горожан, которые предпочитают добираться до работы на личном транспорте (события «предпочитают личный транспорт» для любых отобранных горожан – независимы). Если в генеральной совокупности только 10 человек, трое из которых предпочитают личный транспорт, то ситуация меняется. Вероятность того, что следующий отобранный горожанин предпочтет также личный транспорт, составит уже только 2/9   0,22 или 3/9  0,33 в зависимости от того, предпочитает ли он личный транспорт или нет. В этом случае условия 2 и 3 испытаний Бернулли будут нарушены и Y не будет биномиальной случайной величиной. Чем больше объем генеральной совокупности в сравнении с выборкой, тем менее серьезно нарушение условий 2 и 3. На практике пользуются правилом: если N/п > 10 (N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки), то можно предположить независимость исходов.

В примере 4.3 Z подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 12, р = 0,15. Полагаем, что автомат произвел большое количество деталей, выборка выполнена случайным образом из большого числа сходных деталей по наличию или отсутствию дефектов.

2. Формула Бернулли. Биномиальные вероятности

Вычислим вероятности значений случайной величины, подчиняющиеся закону биномиального распределения.

При четырех подбрасываниях монеты случайная величина X, определяющая число выпадений герба, принимает возможные значения X_i = 0; 1; 2; 3; 4. Рассмотрим определенное событие, когда X = 2. Это событие состоит в том, что при четырех подбрасываниях монеты 2 раза выпадет герб. Определим вероятность Р(Х = 2). Для этого подсчитаем, сколькими способами может осуществиться данное подбрасывание.

При четырех бросаниях монеты герб появится два раза в одной из следующих шести последовательностей: ГГЦЦ, ГЦГЦ, ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ. Исходя из независимости четырех испытаний вероятность определенной последовательности, скажем ЦЦГГ, есть ppqq. Порядок появления цифры или герба не влияет на вероятность. Вероятность р²q² – вероятность для любой из шести перечисленных комбинаций. Поскольку все шесть возможных комбинаций ведут к событию Х = 2, то умножим результат на шесть и получим 6р²q². Для идеальной монеты р = q = 0,5; отсюда P(X = 2) = 6(0,5)⁴ = 0,375. Точно так же можно вычислить другие вероятности Р(Х = 0), Р(Х = 1), Р(Х = 3), Р(Х = 4). процедуру вычисления вероятности появлений некоторого события точно т раз в n последовательных испытаниях, удовлетворяющую условиям повторных испытаний, удобнее обобщить при помощи специальной формулы. Отметим следующее

1. Вероятность любой заданной последовательности, в которой событие появляется т раз и в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р и с вероятностью неуспеха q, равна p^mq^n–m. Заметим, что для опыта с подбрасыванием монеты при р = q = = 0,5, n = 4 и т = 2, получим P(X = 2) = (0,5)²(0,5)² = (0,5)⁴.

2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате которых наступит точно т успехов, равно числу сочетаний из n элементов по т элементов в каждом С_n^m = A_n^m/P_m = n!/[m!(n–m)!].

Для примера 4.1 с подбрасыванием монеты С_n^m = 4∙3/(1∙2) = 6. Этот результат совпадает с полученным путем непосредственного подсчета.

3. Поскольку существует С_n^m комбинаций и каждая комбинация имеет вероятность р^mq^n-m, то вероятность т успехов в n испытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем использовать символ Р_п,т для обозначения вероятности Р(Х = т) в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р:

Р(Х = т) = Р_п,т = С_n^mр^mq^n-m = (4.1)

где q = 1– p; n – число испытаний; m – число успешных испытаний, а формула (4.1) называется формулой Бернулли.

              

4.3. Биномиальный закон распределения

В формуле (4.1) т может принимать значения от 0 до n. Подставим m = 0; 1; 2; ...; n в формулу (4.1):

(q + p)^п = qⁿ + nрq^n–1 + С_n²р²q^п–2 +...+ С_n^k р^kq^п–k +…+ nр^n–1q + рⁿ. (4.2)

Так как (q + р) = 1, то Р_n,0 + Р_п,1 +...+ Р_п,m = 1 (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Биномиальное распределение

Число успехов, m	Вероятность, P(n, m)
0	Сn0 р0qп
1	Сn1 р1qп–1
2	Сn2 р2qп--2
3	Сn3 р3qп–3
…	…
k	Сnk рkqп–k
…	…
n	Сnn рnq0
	1,00

В табл. 4.2 представлены биномиальные вероятности случайной величины X для примера 4.1, рассчитанные при помощи формулы (4.1).

Таблица 4.2