4.3.2. Пересечение прямой линии с поверхностью
Точки пересечения прямой линии с поверхностью называют точками входа и выхода или точками проницания. Рассмотрим решение задачи на пересечение прямой линии l с конической поверхностью φ. Проведем вспомогательную плоскость α через прямую линию и вершину конуса (рис.4.7). Эта плоскость пересекает конус по прямолинейным образующим, проходящим через вершину конуса S и точки пересечения следа плоскости απ1 и основания конуса. Для определения горизонтального следа плоскости можно найти горизонтальные следы заданной прямой линии l (М1) и дополнительной прямой линии k, проходящей через вершину конуса S и произвольную точку А на прямой l (N1). На пересечении этих образующих и заданной прямой получаются искомые точки. Решение этой задачи можно трактовать как построение дополнительной проекции конуса и прямой линии и из вершины конуса S на горизонтальную плоскость проекций π1. Поверхность конуса становится проецирующей и отобразится окружностью основания конуса, а проекция прямой линии совпадет со следом плоскости απ1. При этом алгоритм решения задачи на ортогональном чертеже не изменится.
S
S2
l2
А2
α
l
k2
k
N
M
απ1
M2
N2
S1
π1
M1
l1
А1
απ1
N1
k1
Рис. 4.7. Пересечение прямой линии с конусом
Решение задач на пересечение прямой линии с цилиндрической поверхностью осуществляется подобным образом, только вспомогательная плоскость или направление проецирования будет параллельно образующим цилиндра.
Рассмотрим задачу на пересечение прямой линии l со сферой φ. Проведем через прямую линию l вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость α (рис. 4.8). Эта плоскость пересекает сферу по окружности q, которая будет искажаться во фронтальной проекции в виде эллипса. Чтобы не строить множество точек эллипса, введем дополнительную плоскость проекций π4, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций и параллельную заданной прямой и вспомогательной плоскости (см. 2.4, рис. 2.22).
К2
L2
l2
x12
x14
L1
l1
l4
K1
L4
α
π1≡q1
q4
K4
Рис. 4.8. Пересечение прямой линии со сферой
Рассмотрим пример решения задачи на пересечение прямой линии l с тором φ (рис. 4.9). Проведем через прямую линию l вспомогательную фронтально проецирующую плоскость α (рис. 4.8). Эта плоскость пересекает тор по окружности q, которая будет искажаться в горизонтальной проекции в виде эллипса. Чтобы не строить множество точек эллипса, повернем заданную прямую линию и полученную окружности q вокруг оси тора до горизонтального положения. При этом окружность q совпадет с очерковой образующей тора q', а все точки прямой линии будут перемещаться по окружностям в плоскостях перпендикулярных к оси вращения (см. 3.2, рис. 2.5). Точка пересечения 1 прямой линии с осью будет неподвижна. Для определения повернутого положения прямой линии l', достаточно построить повернутое положение ещё одной точки 2' на прямой линии. Пересечение l' и q' определяет точки входа и выхода в повернутом положении. Повернем их в исходное положение и получим искомые точки пересечения L и К.
22
l2
απ2
L2
K2
q2'
i2≡12
l2'
22'
l1
21
21'
q1'
L1
l1'
i1
K1
11
Рис. 4.9. Пересечение прямой линии с тором