113

4. Позиционные задачи

4.1. Пересечение геометрических образов в пространстве и на плоскости

Задачи, связанные с выявлением взаимного положения геометрических образов относительно друг друга, называются позиционными. В пространстве линии и поверхности могут пересекаться и могут не иметь пересечения. Это открытые позиционные задачи, под которыми понимаются такие задачи, когда для определения искомого элемента не требуется никаких построений, кроме задания самих геометрических образов. В пространстве в общем случае две поверхности n-го и m-го порядка (φⁿ и ψ^m) пересекаются по пространственной кривой линии n×m-го порядка (f ^nm) В частном случае эти лини могут распадаться на плоские кривые или прямые линии и быть мнимыми. Поверхность n-го порядка φⁿ в общем случае пересекается с плоскостью α по кривой n-го порядка f ⁿ. Две плоскости пересекаются по прямой линии, которая может быть в бесконечности, если они параллельны. Кривая n -го порядка f ⁿ в общем случае пересекается с поверхностью m-го порядка ψ^m в n×m точках. Прямая линия l пересекается с поверхностью n-го порядка φⁿ в n точках. Прямая линия l пересекается с плоскостью α в одной точке, которая может быть в бесконечности, если они параллельны. На плоскости круг позиционных задач на пересечение геометрических образов значительно сужается. Если в пространстве две линии в общем случае не имеют пересечения, то на плоскости это единственная открытая позиционная задача. Две прямые линии (l и k)пересекаются в одной точке, прямая линия l и кривая линия n-го порядка f ⁿ пересекаются в n точках, в общем случае две кривые линии n-го и m-го порядков (f ⁿ и q ^m) пересекаются в n×m точках. На рис. 4.1 приведена общая схема позиционных задач в пространстве и на плоскости. В результате операции проецирования пространственные позиционные задачи распадаются на плоскости из-за невозможности выделения некоторых образов и осуществления их алгоритма. При использовании метода двух изображений геометрические образы пространства однозначно моделируются набором геометрических образов меньшей размерности и задают всевозможные преобразования на плоскости (на пример, модель плоскости – гомология, поверхность второго порядка – квадратичное преобразование). Таким образом, открытые позиционные задачи в пространстве переходят на плоскости в закрытые позиционные задачи, для решения которых необходимо реализовывать алгоритмы построения соответственных образов в заданных преобразованиях. Возникает вопрос: как вывить эти алгоритмы и сколько их? Для решения пространственных позиционных задач на пересечение геометрических образов на ортогональном чертеже используют вспомогательные посредники общего и частного положения (плоскости и поверхности), дополнительные проекции и другие преобразования чертежа.

Рис. 4.1. Схема позиционных задач

4.2. Пересечение проецирующих геометрических образов

Геометрические образы, занимающие проецирующее положение по отношению к плоскостям проекций, играют особую роль при решении позиционных задач на пересечение, так как обладают важным собирательным свойством на вырожденной проекции. При пересечении двух геометрических образа, когда один из них занимает проецирующее положение, сводится к определению недостающей проекции точки или линии, принадлежащей заданному геометрическому образу.

Алгоритм решения таких задач состоит в следующем:

1. Выявляем, в какой плоскости проекций проецирующий образ вырождается в точку и линию.

2. Искомый образ в этой плоскости проекций выделяем цветом или обозначаем буквами.

3. Используя условие принадлежности точки или линии заданному образу, определяем недостающую проекцию точки или линии,

4. По правилу конкурирующих точек определяем видимость на чертеже.

Рассмотрим примеры решения основных задач на пересечение проецирующих образов.

Необходимо определить точку пересечения прямой l с горизонтально проецирующей плоскостью α (рис. 4.2). Искомая точка пересечения прямой с плоскостью должна принадлежать и прямой и плоскости.

Рис. 4.2. Пересечение прямой линии с проецирующей плоскостью

Плоскость α на горизонтальной плоскости проекций π₁ вырождается в одну линию, её след α_π1. Горизонтальная проекция точки пересечения А₁ должна принадлежат горизонтальной проекции прямой l₁ и следу плоскости α_π1. Отсюда, А₁ определяется пересечением линий l₁ и α_π1. Фронтальная проекция точки пересечения А₂ лежит на линии связи и на фронтальной проекции прямой l₂. Видимость прямой линии меняется в точке пересечения с плоскостью и определяется по правилу конкурирующих точек 1 и 2 (см. 2.2, рис. 2.8). Невидимая часть прямой линии на фронтальной проекции показана штрихами.

Рассмотрим задачу на определение линии пересечения двух плоскостей: треугольника α (АВС) и линейки β (‌‌m‌ ∕‌ ∕ n) (рис. 4.3).

В₂

1₂

m₂

3₂≡(4₂)

k₂

n₂

С₂

2₂

А₁=А₂

4₁

m₁=n₁=k₁

2₁

С₁

1₁

В₁

3₁

Рис. 4.3. Пересечение двух плоскостей

Плоскость β (m‌ ∕‌ ∕ n) занимает горизонтально проецирующее положение и сливается в одну линию – след плоскости (‌‌m‌₁ ≡ n₁). Горизонтальная проекция линии пересечения k₁ совпадает с горизонтальным следом плоскости. Фронтальная проекция линии пересечения k₂ определяем как недостающую проекцию прямой k(12), лежащей в плоскости α (АВС). Горизонтальная проекция точки 1₁ лежит на горизонтальной проекции стороны треугольника А₁В₁, а горизонтальная проекция точка 2₁ лежит на горизонтальной проекции стороны треугольника А₁С₁. Значит, фронтальная проекция 1₂ должна лежать на фронтальной проекции стороны треугольника А₂В₂, а 2₂ – А₂С₂. Для определения видимости использовались конкурирующие точки 3 и 4. Видимость меняется по лини пересечения.

Рассмотрим задачу на пересечение конической поверхности с плоскостью (рис. 4.4).

S₂

α_π2

₂

q₂

А₂

S₁

q₁

α_π1

А₁

Рис. 4.4. Сечение конуса плоскостью

В сечении конуса плоскостью получаются кривые второго порядка эллипс, парабола и гипербола. Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс – замкнутая кривая. Если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса, то в сечении получается парабола – кривая, имеющая одну бесконечно удаленную точку. Если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола – кривая, имеющая две бесконечно удаленные точки. В частном случае в сечении конуса можно получит окружность, когда плоскость проходит перпендикулярно к оси конуса, или прямые линии, когда плоскость проходит через вершину конуса. В нашем примере фронтальная проекция эллипса q₂ уже задана, она совпадает с фронтальным следом плоскости α_π2. Горизонтальная проекция эллипса q₁ определяется из условия принадлежности линии q конической поверхности. Для построения горизонтальной проекции эллипса q₁ удобно использовать параллели поверхности (на рис. 4.4 показано построение промежуточной точки А и характерных точек большой и малой осей эллипса).

В сечении сферы плоскостью всегда получается окружность, так как всегда можно найти диаметр, который будет перпендикулярен к заданной плоскости. Построение сечения сферы проецирующей плоскостью будет аналогично предыдущим построениям сечения конуса плоскостью. В общем случае в сечении цилиндра плоскостью получается эллипс, в частном случае может получиться окружность или прямые линии. Построение пересечения цилиндра с произвольной плоскостью сводится к модели плоскости, т.е. к определению недостающей проекции эллипса, лежащего в плоскости.

Рассмотрим задачу на определение линии пересечения сферической и цилиндрической поверхностей (рис. 4.5).

5₁

6₁

3₁

4₁

q₂

7₁

А₁

8₁

2₁

1₁

4₁

5₁

q₁

6₁

3₁

7₁

2₁

А₁

1₁

8₁

Рис. 4.5. Пересечение пересечения сферы и цилиндра

Цилиндрическая поверхность занимает горизонтально проецирующее положение и сливается в одну окружность. Линия пересечения поверхностей – пространственная кривая четвертого порядка должна принадлежать как поверхности конуса, так и сферы. Порядок линии пересечения поверхностей определяется как произведение порядков поверхностей. Так как цилиндр в горизонтальной проекции вырождается в одну линию – окружность, то горизонтальная проекция линии пересечения должна проецироваться на эту же окружность, т.е. она уже задана в горизонтальной проекции и совпадает с той частью окружности, которая накладывается на сферическую поверхность. В нашем примере горизонтальная проекция линии пересечения q₁ совпадает полностью с горизонтальным следом поверхности. Фронтальную проекцию линии пересечения q₂ определяем как недостающую проекцию линии, принадлежащей сферической поверхности. Для этого на линии q выделяем характерные и промежуточные точки и построим их фронтальные проекции (см. 3.2. рис. 3.6). Характерные точки линии пересечения на горизонтальной проекции обозначим цифрами по порядку, это поможет правильно соединить их во фронтальной проекции (в том же порядке). Затем построим их фронтальную проекцию. Для построения характерных точек 1, 3, 6 достаточно провести линии связи, точка 1 лежит на экваторе поверхности, а точки 3 и 6 – на главном меридиане. Для построения остальных характерных точек (2, 4, 5, 7 и 8) и промежуточных точек (на рис. 4.5 точка А), используются параллели. Кроме характерных или особых точек строятся еще несколько промежуточных точек хотя бы на участках с большим интервалом между характерными точками. Видимость определяется по отношению к линии пересечения и очеркам поверхностей. Участок линии между точками 2, 3, 4, 5, 6 и 7 на фронтальной проекции невидим, так как принадлежит задней, невидимой части цилиндра. Участок линии между точками 2, 1, 8, А и 7 на фронтальной проекции видим, так как принадлежит передней, видимой части цилиндра. Видимость очерков поверхностей на фронтальной проекции определена с помощью конкурирующих точек, лежащих на фронтально проецирующих прямых линиях. Фронтальный очерк сферы между точками 3 и 6 не существует. Фронтальный очерк сферы является невидимым от точки 3 вправо до очерковой образующей цилиндра и от точки 6 влево до очерковой образующей цилиндра, так как закрывается цилиндром.

Построение пересечения сферы с прямой призмой аналогичны построениям выше изложенным, но в пересечении получается замкнутая ломаная линия, состоящая из дуг окружностей, так как в сечении сферы плоскостью получаются только окружности.

Основным затруднением при решении таких задач является чтение (понимание) чертежа, так как проецирующие образы очень просты в построении, но не наглядны (вместо плоскости – прямая линия, а вместо поверхности – одна кривая линия). Если пересекаются два проецирующих образа, один является проецирующим по отношению к одной плоскости проекций, а другой – к другой плоскости проекций, то линия их пересечения уже задана в двух плоскостях проекций. Таким образом, задача не требует решения, необходимо только увидеть (понять) чертеж. В специальных разделах машиностроительного черчения для образования наружной или внутренней формы деталей чаще всего как раз используются проецирующие цилиндрические поверхности и плоскости.