Вхідний сигнал імпульсний відгук

Рис. 1.9. Реакція рекурсивного ЦФ на одиничний імпульс

Як видно з рис. 1.9, на вихідний сигнал у(nT_а) для різних значень (nT_a)ще має вплив вхідний одиничний імпульс, який спостерігався у момент часу f = 0. Отже, вихідний сигнал рекурсивного фільтра теоретично ніколи не закінчується. З огляду на це, як вже було сказано раніше, такі фільтри нази­ваються фільтрами з нескінченними імпульсними відгуками.

Оцінка сумарної похибки ЦФ. Загальна похибка ЦФ складається з похибки квантування вхідного сигналу, похибки квантування вагових коефі­цієнтів фільтра та похибки округлення результатів арифметичних операцій [21]. Оскільки наведені складові похибки є некорельованими, то вони складаються геометрично. Вираз для загальної похибки ЦФ матиме вигляд

(1.16)

де Е_вих - похибка квантування вхідного сигналу, яка визначається як

(1.17)

де Q_ex - крок квантування вхідного сигналу; h(kT) ~ імпульсна характеристика ЦФ; ε(w)- похибка округлення для вагових коефіцієнтів, заданих у цифровій формі, визначається за формулою [21]

(1.18)

де A* (w) - АЧХ нерекурсивного фільтра для М рівновіддалених значень нормованої частоти w; A (w) — АЧХ фільтра, яка розрахована з округленням коефіцієнтів до s_k двійкових розрядів; Е_0К.вих. - похибка округлення результатів арифметичних операцій, яка визначається як

(1.19)

де g_i (кТ) - імпульсні характеристики частин структури фільтра від кожного і - го джерела округлення.

Основні підходи до синтезу рекурсивних фільтрів

В даний час можна виділити два основних методи проектування рекур­сивних фільтрів. Перший, найбільш прямий, метод полягає у визначенні коефіцієнтів ЦФ а_к і Ь_к за допомогою їх розрахунку безпосередньо за пара­метрами фільтра. В цьому випадку може використовуватися теорія апрокси­мації раціональних функцій тригонометричних поліномів, яка широко описана в літературі [1, 13, 26]. До них необхідно зарахувати специфічні ітеративні методи проектування, а також процедури, основані на методі проб і похибок.

Другим основним методом визначення коефіцієнтів ЦФ є непрямий метод, який складається з двох етапів. Спочатку під час синтезу рекурсивного цифрового фільтра за основу беруть відповідний аналоговий фільтр. За заданої схеми допусків визначається передаточна функція для аналогового фільтра, яку потім відображують через білінійне перетворення на z -площину. Отже, стає відомою передаточна функція у z -площині і потім на другому етапі далі розраховуються коефіцієнти ЦФ.

Такий спосіб обчислення параметрів рекурсивних ЦФ є доволі складним, а тому його використовують у разі масштабних розробок таких фільтрів. З метою спрощення обчислення параметрів рекурсивних ЦФ у літературі наводяться лише результати розрахунку аналогової частини у вигляді таблиць з коефіцієнтами прототипів ФНЧ [1, 26]. З цих таблиць вибирають потрібний фільтр з необхідними параметрами (N- порядок фільтра, а_к - ваговий коефі­цієнт нерекурсивної складової, b_к - ваговий коефіцієнт рекурсивної складової) і його передаточну функцію обчислюють на комп’ютері та надалі аналізують, чи фільтр відповідає заданим вимогам. У разі невиконання вимог здійснюють подальше ітеративне випробування фільтрів другого порядку або іншого типу і так доти, доки з каталогу параметрів фільтрів не буде знайдений найпридатніший.

Отже, непрямий метод дає змогу ефективно використовувати обширну інформацію з проектування аналогових фільтрів і добре адаптувати її до розрахунку ЦФ.

Рекурсивні ЦФ характеризуються низкою властивостей. Основними з них є пульсація в зонах пропускання та запирання, крутизна характеристики при переході від зони пропускання до зони запирання і, навпаки, здатність передавання імпульсів. Необхідно зазначити, що жоден з наявних ЦФ не від­повідає одночасно усім вимогам. Тому залежно від поставлених вимог вибирають відповідні типи ЦФ.

Серед відомих типів ЦФ найпоширеніші фільтри ФНЧ Баттерворта, ФНЧ Бесселя, ФНЧ Чебишева та ФНЧ Кауера.

ФНЧ Баттерворта розроблений так, щоби в зоні пропускання макси­мально забезпечити плоскість амплітудної характеристики та відсутність різних викидів. Крутизна характеристики зростає зі збільшенням порядку N ЦФ. Однак фільтри такого типу мають викиди по фронтах у разі подання на їх входи імпульсів, що призводить до спотворення їх форми.

У ФНЧ Бесселя для прямокутних імпульсів, за рахунок зсуву фаз, пропорційного до частоти, забезпечується найкраща передаточна характе­ристика. Порівняно з фільтром Баттерворта амплітудна характеристика має меншу крутизну.

У ФНЧ Чебишева в зонах пропускання або запирання спостерігаються пульсації з визначеною максимальною амплітудою. Крім того, реакція на стрибки характеризується сильними викидами. Позитивним є те, що, порівняно з попередніми фільтрами, тут перехід від зони запирання до зони пропускання відбувається з більшою крутизною.

У ФНЧ Кауера амплітудна характеристика має пульсації як в зоні пропускання, так і в зоні запирання. Для відтворення імпульсів цей фільтр непридатний, хоча і забезпечує значну крутість фронту імпульсу фільтра. Загалом фільтр Кауера забезпечує в заданих допусках загальні характеристики меншим порядком фільтра порівняно з іншими типами фільтрів.

19