39.Ряд Маклорена
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=0:
При использовании рядов, называемых рядами Маклорена (=Макларена), смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
1)
, где f(x) - функция, имеющая при а=0
производные всех порядков. Rn
- остаточный член в ряде Маклорена
(=Макларена) (Тейлора при а=0)определяется
выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
Ряды Маклорена являются частным случаем рядов Тейлора.
Условия применния рядов Маклорена (=Макларена).
1) Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Маклорена (=Макларена) на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Маклорена (=Макларена) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2) Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке а=0, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Маклорена (=Макларена).
40. Остаточный член формулы Тейлора
Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее.
1)
-
остаточный член
в форме Лагранжа.
2)
-
остаточный член
в форме Коши.
3)
-
остаточный член
в форме Пеано,
где
с - точка из интервала
либо
интервала
Формула
Тейлора
применяется при приближенном подсчете
значения функции в какой-либо точке, а
остаточный член
посчитанный в этой точке показывает
погрешность вычислений. Формулу Тейлора
разложенную в окрестности нуля, т.е.
когда
называют формулой
Маклорена.
41.Некотореы разложения в ряды Тейлоре и маклорена
Разложение элементарных функций по степеням x при x → 0: Маклорена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 
|
|
