12. Теорема о среднем. Производная интеграла по переменному верхнему пределу

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что

Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем

, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).

Эта теорема при f(x) 0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром , площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.

Число наз-ся средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].

13. Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в  причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке.

Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

14. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если

1)

2) и непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то

Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

15. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла специального вида

.

 Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем

.

Интегрируя обе части этого соотношения на интервале

[a, b] , имеем или

.

Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим

.Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.