1.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

Определение: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a;b), то множество функций F(x)+C – неопределённый интеграл от f(x).

∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – переменная интегррования.Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции F'(x) = f(x).

Обозначение

где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. Свойства неопределенного интеграла.1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4 . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

2.Таблица интегралов

3.Замена переменной в неопределенном интеграле

Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Теорема: Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:

4 Метод интегрирования по частям для неопр.Интеграла

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации. Формула интегрирования по частям следующая .

То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.