2) Понятие

О трезок, для которого указано, какой из его концов считает­ся началом, а какой — концом, называется вектором.

Направ­ление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрел­кой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо опреде­ленного направления. На рисунке a) изображены ненулевые векторы и и нулевой вектор , на b) - не­нулевые векторы , , , имеющие общее начало. Нулевой век­тор обозначается также символом .

Длиной ненулевого вектора или его модулем называется длина отрезка АВ. Длина вектора (вектора ) обозначается так: | | ( | | ). Длина нулевого вектора считается равной нулю: | |=0.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Если два ненулевых вектора АВ и СD коллинеарны и если при этом лучи АВ и СD сонаправлены, то векторы АВ и СD называются сонаправленными, а если эти лучи не являются сонаправлемыыми, то векторы АВ и СD называются противоположно направленными. Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись обозначает, что векторы и сонаправлены, а запись — что векторы и противоположно нап­равлены.

Равенство векторов. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Е сли точка А — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А. Нетрудно доказать, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. В самом деле, пусть —данный вектор, М—данная точка. Проведем через начало и конец вектора и точку М

плоскость и в этой плоскости построим вектор = . Очевидно,

что вектор искомый. Из построения ясно также, что — единственный вектор с началом М, равный вектору .

Сложение и вычитание векторов. Введем правило сложе­ния двух произвольных векторов и . Отложим от какой-нибудь точки А вектор , равный . Затем от точ­ки В отложим вектор , равный . Вектор называется

суммой векторов и : = + .

Это правило сложения векторов называется правилом тре­угольника. Отметим, что по этому же правилу складываются и колликеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника. Точно так же, как в планиметрии, доказывается, что сумма + не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор . Иными словами, если при сложении век­торов и по правилу треугольника точку А заменить другой

точкой А₁, то вектор заменится равным ему вектором .

Правило треугольника можно сформулировать в такой фор­ме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство

+ =

Для сложения двух неколликеаркых векторов можно пользо­ваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии.

Свойства сложения векторов, изученные в планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их.

Для любых векторов , , справедливы равенства:

+ = + (переместительный закон);

( + )+ = +( + ) (сочетательный закон)

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Очевидно, вектор является противоположным вектору .

Р азностью векторов и называется такой вектор, сумма ко­торого с вектором равна вектору .

Разность - векторов и можно найти по формуле

- = + (- ),

где (— )— вектор, противоположный вектору .

На рисунке представлены два способа построения раз­ности двух данных векторов и . Доказательства законов сложения и равенства для век­торов в пространстве ничем не отличаются от доказательств для векторов на плоскости.

Сумма нескольких векторов. Сложение нескольких векто­ров в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком поряд­ке они складываются.

На рисунке показано построение суммы трех векторов

, , : от произвольной точки О отложен вектор = , затем от точки А отложен вектор = , и, наконец, от точки В отло­жен вектор = . В результате получается вектор , равный + + .

Аналогично можно построить сумму любого числа векторов.

Заметим, однако, что в отличие от случая векторов на плоскости «многоугольник», который по­лучается при построении суммы векторов в пространстве, может оказаться пространственным, т. е. таким, у которого не все вер­шины лежат в одной плоскости.

Правило многоугольника можно сформулировать также сле­дующим образом: если А₁, А₂ ..., А_n — произвольные точки, то

.

В частности, если точки А₁и А_n, т. е. начало первого вектора и конец последнего, совпадают, то сумма векторов равна нуле­вому вектору.

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор , длина которого равна | k | * | |, причем векторы и сонапрс.вгены при k 0 и противоположно направлены при k<0.

Произведением нулево­го вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора на число k обозначается так: k . Из определения произведения векора на число следует, что для любого числа k и любого вектора векторы и k коллинеарны. Из этого определенен следует также, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Напомним основные свойства умножения вектора на число, известные нам для векторов на плоскости. Они имеют место и для векторов в пространстве.

Для любых векторов , и любых чисел k, l справедливы равенства:

( kl ) = k( l ) (сочетательный закон);

k ( + ) = k + k (первый распределительный закон);

(k + l ) = k + l (второй распределительный закон).

Отменим, что (-1) является вектором, противоположным вектору , т. е.

(-1) = - .

Если векторы и коллинеарны и 0, то существует число k такое,

что = k .

БИЛЕТ№6

1) Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпенди­кулярность прямых а и b обозначается так: а b. Перпендикуляр­ные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпенди­кулярна к третьей прямой, то и другая п рямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство

Пусть а||b и а с. Докажем, что b с. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а с, то АМС=90°.

По условию леммы b||а, а по построению а||МA, поэтому b||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b с.

Лемма доказана