БИЛЕТ№1

1 ) А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

А2) А3)

Некоторые следствия из аксиом:

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку про­ходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство.

Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М. Докажем, что через прямую а и точку М п роходит плоскость. Отметим на прямой а две точки Р п Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1 через эти точки проходит некоторая плоскость ά. Так как две точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости ά, то по аксиоме А₂ плоскость ά проходит через прямую а.

Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точ­ку М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку М, проходит через точки М, Р и Q. Следова­тельно, она совпадает с плоскостью ά, так как по аксиоме А1 через точки М, Р и Q проходит только одна плоскость.

Теорема доказана.

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство

Рассмотрим прямые а и b, пере­секающиеся в точке М, и докажем, что через эти прямые проходит п лоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой b какую-нибудь точку N, отличную от точки М, и рассмотрим плоскость α, проходящую через точку N и прямую а. Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую b. Итак, плоскость α проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с плоскостью α, поскольку через точку N и прямую а проходит только одна плоскость.

Теорема доказана

2) Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство

Боковые грани правильной пирами­ды - равные равнобедренные треугольники, основания кото­рых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произ­ведений сторон основания на половину апофемы d.

Вынося множитель 0,5d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр.

Теорема доказана.

Б ИЛЕТ №2

1) Свойства параллельных плоскостей. Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей.

1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Наглядным подтверждением этого факта служат линии пере­сечения пола и потолка со стеной комнаты — эти линии парал­лельны. Для доказательства данного свойства рассмотрим пря­мые а и b, по которым параллельные плоскости α и β пере­секаются с плоскостью µ. Докажем, что а||b. Эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости µ) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то плоскости α и β имели бы общую точку, что невозможно, так как α||β. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. а||b.

2°. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Для доказательства этого свойства рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные между парал­лельными плоскостями α и β. Докажем, что АВ = СD. Плоскость µ, проходящая через параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями α и β по параллельным прямым АС и ВD (свойство 1°). Таким образом, в четырехугольнике АВDС противоположные стороны попарно параллельны, т. е. АВDС — параллелограмм. Но в параллелограмме противоположные сто­роны равны, поэтому АВ = СD.

чтд.

2) Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А₁А₂... А_n и В₁В₂... В_n, расположенных в параллельных плос­костях ά и β так, что отрезки А₁В₁, А₂В₂....А_nВ_n , соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны. Каждый из n четырехугольников:

А₁А₂В₂В₁ А₂А₃В₃В₂.....А_пА₁В₁В_п (1)

является параллелограммом, так как имеет попарно параллель­ные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике А₁А₂В₂В₁ стороны А₁В₁ и А₂В₂ параллельны по условию, а сторо­ны А₁А₂ и В₁В₂ — по свойству параллельных плоскостей, пере­сеченных третьей плоскостью.

Многогранник, составленный из двух равных многоугольни­ков А₁А₂...А_n и В₁В₂..В_n, р асположенных в параллельных плос-

костях, и п параллелограммов (1), называется призмой.

Многоугольники А₁А₂...А_n и В₁В₂...В_n называются основания­ми, а параллелограммы (1)—боковыми гранями призмы. От­резки А₁В₁, А₂В₂.....А_nВ_nназываются боковыми ребрами призмы.

Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), последовательно приложенных друг к другу, равны и параллель­ны. Призму с основаниями А₁А₂...А_n и В₁В₂...В_n обозначают А₁А₂... А_пВ₁В₂...В_n и называют n-угольной призмой. На рисунке изображена шестиугольная призма.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае — наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые гра­ни — равные прямоугольники.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности приз­мы — сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_П0ЛН полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверх­ности и площадь S_0СН основания призмы формулой

Sполн =Sбок+2Sосн

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство

Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания приз­мы, а высоты равны высоте H. призмы. Площадь боковой поверх­ности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольни­ков, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту H. Вынося множитель Н за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, S_бoк=РН.

Теорема доказана.

БИЛЕТ№3

1 ) Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой a и плоскости ά обозначается так: . Говорят также, что плоскость ά перпендикулярна к прямой а.

Если прямая a перпендикулярна к плоскости ά, то она пере­секает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая a не пере­секала плоскость ά, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости а имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикуляр­ности прямой и плоскости. Значит, прямая a пересекает плос­кость ά.

На рисунке изображена прямая а, перпендикулярная

к плоскости ά.

Окружающая нас обстановка дает много примеров, ил­люстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Не­покосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпенди­кулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью

к плоскости.

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпен­дикулярна к этой плоскости.

Д оказательство

Рассмотрим две параллельные прямые а и а₁ и плоскость ά, такую, что а ά. Докажем, что и а₁ ά.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости ά. Так как а ά, то а х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ х. Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ά, т. е. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

Теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство

Рассмотрим прямые а и b, перпенди­кулярные к плоскости ά. Докажем, что а||b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а. По предыдущей теореме ά. Дока­жем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а||b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости ά и β. Но это невозможно, следовательно, а||b.

Теорема доказана.

2) Пирамида. Рассмотрим многоугольник А₁А₂...А_n и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треуголь­н иков:

РА₁А₂, РА₂А₃, ..., РА_пА₁. (1)

Многогранник, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n и n тре­угольников (1), называется пирамидой. Многоугольник А₁А₂...А_n

называется основанием, а треугольники (1) — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА₁, РА₂, ..., РА_n — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основа­нием А₁А₂...А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂...А_n— и называют n-угольной пирамидой. Треуголь­ная пирамида — это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плос­кости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке отрезок РО — высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ее боковых граней. Очевидно, что

Sполн=Sбок+Sосн (2)

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, со­единяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Докажем, что вес боковые ребра правильной пирамиды рав­ны, а боковые грани являются равными равнобедренными тре­угольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РА₁А₂...А_n. Сна­чала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны.

Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного тре­угольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а дру­гим — радиус описанной около основа­ния окружности (например, боковое ребро РА₁ — гипотенуза треугольни­ка ОРА₁, в котором ОР = Н, ОА₁=R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно , поэтому РА₁=PA₂ = ... = PA_n.

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA₁A₂...A_n рав­ны друг другу, поэтому боковые гра­ни — равнобедренные треугольники.

Основания этих треугольников также равны друг другу, так как А₁А₁…А_n — правильный многоугольник. Следовательно, бо­ковые грани равны по третьему признаку равенства треуголь­ников, что и тре0овалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правиль­ной пирамиды.

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пи­рамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство

Боковые грани правильной пирами­ды - равные равнобедренные треугольники, основания кото­рых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произ­ведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель

0,5d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр.

Теорема доказана

БИЛЕТ№4