За время переходного периода в магнитном поле катушки накопится энергия

.

(16.29)

16.5. Короткое замыкание катушки

П усть в цепи, расчётная схема которой приведена на рис.16.6, ключ был в положении 1 и источник был подключён достаточно долго, т.е. наступил устано­вившийся режим. Если в некоторый момент времени (t = 0) ключ мгновенно (без разрыва цепи катушки) переключить в положение 2, то будет иметь место корот­кое замыкание катушки.

Найдём закон изменения тока в цепи. Для послекоммутационной схемы по второму закону Кирхгофа можем записать:

,

(16.30)

или

.

(16.31)

Після визначення струму легко знайти напруги на активному опорі та індуктивності:

;

(16.27)

.

(16.28)

З рівняння (16.28) видно, що напруга на індуктивності змінюється стрибком від нуля до значення е.р.с. джерела. Е.р.с. самоіндукції протидіє зростанню струму.

З рівняння (16.27) видно, що напруга на активному опорі зростає плавно від нуля до значення е.р.с. джерела в примушеному режимі. Енергія, яку одержує коло, частково йде на створення енергії магнітного поля, а частково перетворюється в теплоту на активному опорі.

За час перехідного періоду в магнітному полі котушки накопичиться енергія

.

(16.29)

16.5. Коротке замикання котушки

Н ехай у колі, розрахункова схема якого приведена на рис.16.6, ключ був у положенні 1 і джерело було підключено досить довго, тобто наступив усталений режим. Якщо в деякий момент часу (t = 0) ключ миттєво (без розриву кола котушки) переключити в положення 2, то буде мати місце коротке замикання котушки.

Знайдемо закон зміни струму в колі. Для післякомутаційної схеми за другим законом Кірхгофа можемо записати:

,

(16.30)

або

.

(16.31)

Уравнение (16.31) представляет собой однородное дифференциальное урав­нение, решение которого даёт свободный ток. Таким образом, в данном случае переходный ток не будет содержать принуждённой составляющей, т.е. i = i_пр + i_св = i_св, поскольку i_пр = 0.

После решения уравнения получим:

;

;

.

(16.32)

Найдём постоянную интегрирования из начальных условий: согласно пер­вому закону коммутации на участке цепи с индуктивностью ток не может изме­няться скачком, поэтому в момент коммутации при t = 0 i(0) = и уравнение (16.32) запишется так:

.

(16.33)

О кончательно получим:

,

(16.34)

где

.

(16.35)

Покажем переходный ток на графике (рис.16.7).

После определения тока легко найти напряжение на активном сопротивлении и индуктивности:

;	(16.36)
.	(16.37)

Из уравнения (16.37) видно, что напряжение на индуктивности и э.д.с. само­индукции в момент коммутации изменяются скачком. Э.д.с. поддерживает проте­кание тока в цепи в первоначальном направлении.

Начальный запас энергии магнитного поля катушки

.

(16.38)

Рівняння (16.31) являє собою однорідне диференціальне рівняння, рішення якого дає вільний струм. Таким чином, у даному випадку перехідний струм не буде містити примушеної складової, тобто i = i_пр + i_в = i_в, оскільки i_пр = 0.

Після рішення рівняння одержимо:

;

;

.

(16.32)

Знайдемо постійну інтегрування з початкових умов: відповідно до першого закону комутації на ділянці кола з індуктивністю струм не може змінюватися стрибком, тому в момент комутації при t = 0 i(0) = і рівняння (16.32) запишеться так:

.

(16.33)

О статочно одержимо:

,

(16.34)

де

.

(16.35)

Покажемо перехідний струм на графіку (рис.16.7).

Після визначення струму легко знайти напругу на активному опорі та індуктивності:

;	(16.36)
.	(16.37)

З рівняння (16.37) видно, що напруга на індуктивності та е.р.с. самоіндукції в момент комутації змінюються стрибком. Е.р.с. підтримує протікання струму у колі в попередньому напрямку.

Початковий запас енергії магнітного поля котушки

.

(16.38)

Энергия, которая выделяется в активном сопротивлении за время переход­ного процесса

.

(16.39)

Таким образом, W_L = W_r, т.е. вся энергия магнитного поля выделяется в ак­тивном сопротивлении r в виде теплоты.