
- •Тема 15 Переходные процессы в линейных цепях
- •16.1. Причины возникновения переходных процессов
- •Замыкание цепи изображают на расчётных схемах так:
- •Размыкание цепи изображают на расчётных схемах так:
- •16.2. Законы коммутации
- •Тема 16 перехідні процеси в лінійних колах
- •16.1. Причини виникнення перехідних процесів
- •Замикання кола зображують на розрахункових схемах так: Розмикання кола зображують на розрахункових схемах так:
- •16.2. Закони комутації
- •16.3. Классический метод расчёта
- •16.3. Класичний метод розрахунку
- •Отнимая почленно уравнения (16.9) и (16.10) и зная, что
- •Віднімаючи почленно рівняння (16.9) і (16.10) та знаючи, що
- •16.4. Подключение катушки к источнику постоянной э.Д.С.
- •16.4. Підключення котушки до джерела постійної е.Р.С.
- •Принуждённый ток после коммутации
- •Примушений струм після комутації
- •За время переходного периода в магнитном поле катушки накопится энергия
- •16.5. Короткое замыкание катушки
- •За час перехідного періоду в магнітному полі котушки накопичиться енергія
- •16.5. Коротке замикання котушки
- •16.6. Зарядка конденсатора через резистор
- •16.6. Заряджання конденсатора через резистор
- •Переходный ток в цепи
- •Переходное напряжение на активном сопротивлении
- •Перехідний струм у колі
- •Перехідна напруга на активному опорі
- •16.7. Разрядка конденсатора через резистор
- •16.7. Розряджання конденсатора через резистор
- •16.8. Переходный процесс в цепи с последовательно соединёнными катушкой и конденсатором
- •16.8. Перехідний процес у колі з послідовно з'єднаними котушкою і конденсатором
- •16.9. Разрядка конденсатора на катушку
- •16.9. Розряджання конденсатора на котушку
- •16.10. Включение катушки при синусоидальном напряжении
- •16.10. Включення котушки при синусоїдній напрузі
- •Для переходного тока
- •Для перехідного струму
- •16.11. Включение последовательно соединённых резистора и конденсатора при синусоидальном напряжении
- •Переходное напряжение на ёмкости
- •16.11. Включення послідовно з'єднаних резистора і конденсатора при синусоїдній напрузі
- •Перехідна напруга на ємності
- •16.12. Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи
- •16.12. Розрахунок перехідного процесу в розгалуженому колі
- •16.13. Преобразования Лапласа
- •16.13. Перетворення Лапласа
- •16.14. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
- •16.14. Закони Ома і Кірхгофа в операторній формі
- •В знаменателе находится операторное сопротивление
- •У знаменнику знаходиться операторний опір
- •16.15. Теорема разложения
- •16.15. Теорема розкладання
- •16.16. Формула включения
- •16.16. Формула включення
- •Алгоритм изучения темы «Переходные процессы в линейных цепях»
- •16.1. Причины возникновения переходных процессов
- •16.2. Законы коммутации
- •16.3. Классический метод расчёта
- •16.4. Подключение катушки к источнику постоянной э.Д.С.
- •Алгоритм вивчення теми «перехідні процеси в лінійних колах»
- •16.1. Причини виникнення перехідних процесів
- •16.2. Закони комутації
- •16.3. Класичний метод розрахунку
- •16.4. Підключення котушки до джерела постійної е.Р.С.
- •16.5. Короткое замыкание катушки
- •16.6. Зарядка конденсатора через резистор
- •16.5. Коротке замикання котушки
- •16.6. Заряджання конденсатора через резистор
- •16.7. Разрядка конденсатора через резистор
- •16.8. Переходный процесс в цепи с последовательно соединёнными катушкой и конденсатором
- •16.7. Розряджання конденсатора через резистор
- •16.8. Перехідний процес у колі з послідовно з'єднаними котушкою і конденсатором
- •16.9. Разрядка конденсатора на катушку
- •16.10. Включение катушки при синусоидальном напряжении
- •16.9. Розряджання конденсатора на котушку
- •16.10. Включення котушки при синусоїдній напрузі
- •16.11. Включение последовательно соединённых резистора и конденсатора при синусоидальном напряжении
- •16.11. Включення послідовно з'єднаних резистора і конденсатора при синусоїдній напрузі
- •16.12. Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи
- •16.13. Преобразования Лапласа
- •16.14. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
За время переходного периода в магнитном поле катушки накопится энергия
|
(16.29) |
16.5. Короткое замыкание катушки
П
усть
в цепи, расчётная схема которой приведена
на рис.16.6, ключ был
в положении 1 и
источник был подключён достаточно
долго, т.е. наступил установившийся
режим. Если в некоторый момент времени
(t
= 0)
ключ мгновенно (без разрыва цепи катушки)
переключить в положение 2, то будет иметь
место короткое замыкание катушки.
Найдём закон изменения тока в цепи. Для послекоммутационной схемы по второму закону Кирхгофа можем записать:
|
(16.30) |
или
|
(16.31) |
Після визначення струму легко знайти напруги на активному опорі та індуктивності:
; |
(16.27) |
. |
(16.28) |
З рівняння (16.28) видно, що напруга на індуктивності змінюється стрибком від нуля до значення е.р.с. джерела. Е.р.с. самоіндукції протидіє зростанню струму.
З рівняння (16.27) видно, що напруга на активному опорі зростає плавно від нуля до значення е.р.с. джерела в примушеному режимі. Енергія, яку одержує коло, частково йде на створення енергії магнітного поля, а частково перетворюється в теплоту на активному опорі.
За час перехідного періоду в магнітному полі котушки накопичиться енергія
. |
(16.29) |
16.5. Коротке замикання котушки
Н ехай у колі, розрахункова схема якого приведена на рис.16.6, ключ був у положенні 1 і джерело було підключено досить довго, тобто наступив усталений режим. Якщо в деякий момент часу (t = 0) ключ миттєво (без розриву кола котушки) переключити в положення 2, то буде мати місце коротке замикання котушки.
Знайдемо закон зміни струму в колі. Для післякомутаційної схеми за другим законом Кірхгофа можемо записати:
, |
(16.30) |
або
. |
(16.31) |
Уравнение (16.31) представляет собой однородное дифференциальное уравнение, решение которого даёт свободный ток. Таким образом, в данном случае переходный ток не будет содержать принуждённой составляющей, т.е. i = iпр + iсв = iсв, поскольку iпр = 0.
После решения уравнения получим:
; |
; |
|
(16.32) |
Найдём
постоянную интегрирования из начальных
условий: согласно первому закону
коммутации на участке цепи с индуктивностью
ток не может изменяться скачком,
поэтому в момент коммутации при t
=
0 i(0)
=
и уравнение (16.32)
запишется так:
|
(16.33) |
О
кончательно
получим:
|
(16.34) |
где
|
(16.35) |
Покажем переходный ток на графике (рис.16.7).
После определения тока легко найти напряжение на активном сопротивлении и индуктивности:
|
(16.36) |
|
(16.37) |
Из уравнения (16.37) видно, что напряжение на индуктивности и э.д.с. самоиндукции в момент коммутации изменяются скачком. Э.д.с. поддерживает протекание тока в цепи в первоначальном направлении.
Начальный запас энергии магнитного поля катушки
|
(16.38) |
Рівняння (16.31) являє собою однорідне диференціальне рівняння, рішення якого дає вільний струм. Таким чином, у даному випадку перехідний струм не буде містити примушеної складової, тобто i = iпр + iв = iв, оскільки iпр = 0.
Після рішення рівняння одержимо:
; |
; |
. |
(16.32) |
Знайдемо постійну інтегрування з початкових умов: відповідно до першого закону комутації на ділянці кола з індуктивністю струм не може змінюватися стрибком, тому в момент комутації при t = 0 i(0) = і рівняння (16.32) запишеться так:
. |
(16.33) |
О
статочно
одержимо:
, |
(16.34) |
де
. |
(16.35) |
Покажемо перехідний струм на графіку (рис.16.7).
Після визначення струму легко знайти напругу на активному опорі та індуктивності:
; |
(16.36) |
. |
(16.37) |
З рівняння (16.37) видно, що напруга на індуктивності та е.р.с. самоіндукції в момент комутації змінюються стрибком. Е.р.с. підтримує протікання струму у колі в попередньому напрямку.
Початковий запас енергії магнітного поля котушки
. |
(16.38) |
Энергия, которая выделяется в активном сопротивлении за время переходного процесса
|
(16.39) |
Таким образом, WL = Wr, т.е. вся энергия магнитного поля выделяется в активном сопротивлении r в виде теплоты.