16.3. Классический метод расчёта

Р ассмотрим последовательную цепь, содержащую активное сопротивление, индуктивность и ёмкость, подключённую к источнику напряжения, которое из­меняется во времени по произвольному непрерывному закону, заданному каким-либо аналитическим выражением (рис.16.3).

Для любого момента времени по второму закону Кирхгофа можем записать:

u = ur + ul + uС.,
,	(16.9)

где i – ток переходного режима,

который дальше будем называть переходным то­ком или просто током, А.

Переходным режимом будем называть состояние цепи, которое будет на­блюдаться в ней на протяжении некоторого (теоретически бесконечно большого) времени после коммутации.

З енергетичної точки зору неможливість миттєвої зміни напруги на ємності пояснюється неможливістю зміни стрибком потужності, накопиченої в конденсаторі. Енергія електричного поля конденсатора

.

(16.7)

Миттєва потужність у ємності

.

(16.8)

Якби напруга на ємності в момент часу t = 0 змінилася стрибком, то це привело б до виділення в ємності нескінченно великої потужності, що неможливо з фізичної точки зору.

Отже, можна сформулювати другий закон комутації: на будь-якій ділянці кола з ємністю напруга і заряд на ємності в момент комутації зберігають ті значення, які вони мали до комутації, і далі починають змінюватися від цих значень.

16.3. Класичний метод розрахунку

Р озглянемо послідовне коло, яке містить активний опір, індуктивність і ємність, підключені до джерела напруги, яка змінюється в часі за довільним безперервним законом, заданим яким-небудь аналітичним виразом (рис.16.3).

Для будь-якого моменту часу за другим законом Кірхгофа можемо записати:

u = ur + u + uС.,
,	(16.9)

де i – струм перехідного режиму,

який далі будемо називати перехідним струмом або просто струмом, А.

Перехідним режимом будемо називати стан кола, який буде спостерігатися в ньому протягом деякого (теоретично нескінченно великого) часу після комутації.

Когда наступает принуждённый режим, уравнение (16.9) принимает вид:

,

(16.10)

где i_пр – ток принуждённого режима или просто принуждённый ток, А.

Принуждённым режимом будем называть состояние цепи, когда с переход­ным режимом можно не считаться. Принуждённый режим, который создаётся свободной составляющей периодического напряжения, иногда называют устано­вившимся режимом.

Отнимая почленно уравнения (16.9) и (16.10) и зная, что

,

(16.11)

получим

,

(16.12)

или

.

(16.13)

Разность токов и напряжений переходного и принуждённого режимов назы­вается соответственно током и напряжением свободного режима или просто сво­бодными током и напряжением.

Согласно уравнению (16.11) процесс, который проходит в цепи, можно рас­сматривать как такой, который состоит из наложенных один на другой процессов – принуждённого, который наступил как бы сразу, и свободного, который имеет место только на протяжении переходного режима.

Конечно, физически существует только переходный ток или напряжение, а разложение их на принуждённую и свободную составляющие – это всего лишь удобный способ, который облегчает расчёты переходных процессов в линейных цепях.

Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому об­щее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, уравнение (16.12) показывает, что свободный ток представ­ляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения и должно иметь постоянные интегрирования, количество которых равно порядку диффе­ренциального уравнения. В свою очередь уравнение (16.10) показывает, что при­нуждённый ток представляет собой соответствующее частное решение неодно­родного дифференциального уравнения.

Коли настає примушений режим, рівняння (16.9) приймає вигляд:

,

(16.10)

де i_пр – струм примушеного режиму або просто примушений струм, А.

Примушеним режимом будемо називати стан кола, коли з перехідним режимом можна не рахуватись. Примушений режим, який створюється вільною складовою періодичної напруги, інколи називають усталеним режимом.