16.15. Теорема розкладання

У більшості випадків зображення являють собою повний раціональний дріб:

,

(16.117)

в якому m < n, a_k і b_k – дійсні числа, p₁, p₂, … p_n – корені рівняння F(p) = 0, які не кратні і не дорівнюють кореням рівняння φ(p) = 0.

З математики відомо, що в цьому випадку:

= .

(16.118)

Це і є запис теореми розкладання, яка дозволяє за допомогою зображення у вигляді раціонального дробу знайти оригінал, який дорівнює сумі показових функцій часу, помножених на постійні коефіцієнти.

16.16. Формула включения

Если при расчёте операторным методом на постоянном напряжении искомая величина (ток или напряжение) описывается выражением

,

(16.119)

то переход к оригиналу может быть выполнен с помощью, так называемой фор­мулы включения с нулевыми начальными условиями:

.

(16.120)

Например, необходимо найти закон изменения тока в цепи, изображённой на рис.16.23.

Запишем дифференциальное уравнение:

или

.

Заменим оригиналы их изображениями:

;

,

тогда

.

Чтобы перейти от изображения к оригиналу, применим формулу включения. Находим корень из уравнения:

;

,

16.16. Формула включення

Якщо при розрахунку операторним методом на постійній напрузі шукана величина (струм або напруга) описується виразом

,

(16.119)

те перехід до оригіналу може бути виконаний за допомогою так званої формули включення з нульовими початковими умовами:

.

(16.120)

Наприклад, необхідно знайти закон зміни струму в колі, зображеного на рис.16.23.

Запишемо диференціальне рівняння:

або

.

Замінимо оригінали їх зображеннями:

;

,

тоді

.

Щоб перейти від зображення до оригіналу, застосуємо формулу включення. Знаходимо корінь з рівняння:

;

,

откуда

.

Возьмём производную функции F(p) = 0:

.

Записываем оригинал тока:

.

Воспользуемся теперь теоремой разложения:

.

Найдём корень из уравнения:

,

.

Функция F′(p) = r.

Записываем оригинал тока:

.

Чтобы перейти от изображения к оригиналу, можно воспользоваться табличными формулами, для чего нужно преобразовать выражение изображения тока:

= .

Из таблицы находим:

= .

Итак, можем записать:

,

что совпадает с результатами, полученными раньше, и классическим методом рас­чёта.

звідки

.

Візьмемо похідну функції F(p) = 0:

.

Записуємо оригінал струму:

.

Скористаємося тепер теоремою розкладання:

.

Знайдемо корінь з рівняння:

,

.

Функція F′(p) = r.

Записуємо оригінал струму:

.

Щоб перейти від зображення до оригіналу, можна скористатися табличними формулами, для чого потрібно перетворити вираз зображення струму:

= .

З таблиці знаходимо:

= .

Отже, можемо записати:

,

що збігається з результатами, одержаними раніше, та класичним методом розрахунку.