16.12. Расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи

П усть заданна расчётная схема (рис.16.20) и известны все параметры и э.д.с. Необходимо найти токи в ветвях и напряжения на всех элементах во время пере­ходного процесса.

Каждая электрическая величина в переходном процессе будет иметь принуждённую и свободную составляющую, из-за чего расчёт переходного процесса в разветвлённой цепи сводится к определению принуждённых и свободных со­ставляющих токов и напряжений, а также постоянных интегрирования:

а) определение свободных составляющих токов и напряжений.

Для послекоммутационной схемы составляем уравнения по законам Кирх­гофа:

(16.92)

В этих уравнениях i₁, i₂ и i₃ – полные токи.

Перепишем систему уравнений для свободных составляющих токов:

(16.93)

16.12. Розрахунок перехідного процесу в розгалуженому колі

Н ехай заданна розрахункова схема (рис.16.20) та відомі всі параметри і е.р.с. Необхідно знайти струми в розгалуженнях і напруги на всіх елементах під час перехідного процесу.

Кожна електрична величина в перехідному процесі буде мати примушену і вільну складову, через що розрахунок перехідного процесу в розгалуженому колі зводиться до визначення примушених і вільних складових струмів і напруг, а також постійних інтегрування:

а) визначення вільних складових струмів і напруг.

Для післякомутаційної схеми складаємо рівняння за законами Кірхгофа:

(16.92)

У цих рівняннях i₁, i₂ і i₃ – повні струми.

Перепишемо систему рівнянь для вільних складових струмів:

(16.93)

Свободный ток можно определить путём решения однородного дифференци­ального уравнения, которое записывается в виде показательной функции . Та­ким образом, каждый свободный ток может быть представлен в виде:

.

(16.94)

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока разная, а показа­тели затухания p одинаковые для всех свободных токов, так как вся цепь охвачена единым переходным процессом.

Возьмём производную от свободного тока:

.

(16.95)

Найдём интеграл от свободного тока:

.

(16.96)

Перепишем систему уравнений (16.93) с учётом (16.95) и (16.96):

(16.97)

Полученная система уравнений представляет собой систему алгебраических уравнений относительно i_1св, i_2св, i_3св и не содержит производных и интегралов.

Решим систему уравнений (16.97) методом определи­телей:

;

;

;

(16.98)

Находим определитель системы:

;

Вільний струм можна визначити шляхом рішення однорідного диференціального рівняння, яке записується у вигляді показової функції . Таким чином, кожний вільний струм може бути представлений у вигляді:

.

(16.94)

Постійна інтегрування А для кожного вільного струму різна, а показники затухання p однакові для всіх вільних струмів, тому що все коло охоплене єдиним перехідним процесом.

Візьмемо похідну від вільного струму:

.

(16.95)

Знайдемо інтеграл від вільного струму:

.

(16.96)

Перепишемо систему рівнянь (16.93) з урахуванням (16.95) і (16.96):

(16.97)

Отримана система рівнянь являє собою систему алгебраїчних рівнянь відносно i_1в, i_2в, i_3в та не містить похідних і інтегралів.

Вирішимо систему рівнянь (16.97) методом визначників:

;

;

;

(16.98)

Знаходимо визначник системи:

;

Находим дополнения определителя:

;
;
.

Таким образом, Δ₁ = 0, Δ₂ = 0, Δ₃ = 0, т.к.

;

;

.

Каждый из свободных токов не может быть равен нулю, поскольку в этом случае не будут выполняться законы коммутации. А это может быть только тогда, когда определитель системы Δ равен нулю, т.е.

Δ = 0.

Уравнение Δ = 0 называют характеристическим. Единственным неизвестным в нём есть корень p.

В данном примере получим:

или

.

(16.99)

Корни квадратного уравнения

.

(16.100)

Знаходимо доповнення визначника:

;
;
.

Таким чином, Δ₁ = 0, Δ₂ = 0, Δ₃ = 0, тому що

;

;

.

Кожний з вільних струмів не може дорівнювати нулю, оскільки в цьому випадку не будуть виконуватися закони комутації. А це може бути тільки тоді, коли визначник системи Δ дорівнює нулю, тобто

Δ = 0.

Рівняння Δ = 0 називають характеристичним. Єдиним невідомим у ньому є корінь p.

У даному прикладі одержимо:

або

.

(16.99)

Корені квадратного рівняння

.

(16.100)

Найдя корни характеристического уравнения системы, можно записать об­щие выражения для каждого из свободных токов.

Возможны несколько случаев:

1) уравнение имеет один корень, тогда

;

(16.101)

2) уравнение имеет два действительных неравных корня, тогда

;

(16.102)

3) уравнение имеет два действительных равных корня, тогда

;

(16.103)

4) уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня, тогда

;

(16.104)

б) нахождение принуждённых составляющих токов и на­пряжений выполня­ется известными методами;

в) нахождение общего решения для токов и на­пряжений как суммы принуждённых и свободных составляющих

i = iпр + iсв; u = uпр + uсв;

г) нахождение постоянных интегрирования выполняется с учётом начальных условий, которые делятся на неза­висимые и зависимые начальные условия.