Элементы математической статистики - - сведения для решения Задачи №7 из идз№3.

0. Выборочные характеристики вариационных рядов

Определение. Совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин называется выборкой, соответствующей распределению случайной величины .

Определение. Пусть ‑ выборка из распределения с теоретической функцией распределения , ‑ число элементов выборки, строго меньших x. Эмпирической функцией распределения (ЭФР) называется функция

. (7.1)

Пусть ‑ выборка из распределения случайной величины , а – реализация этой выборки, т.е. наблюдавшиеся значения.

Определение. Выборочным средним называется величина

. (7.2)

Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:

, (7.3)

где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах, – частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих -той группе или -тому интервалу, – варианта для точечного ряда и середина -того интервала для интервального ряда.

Определение. Выборочной дисперсией (смещенной) называется величина

. (7.4)

Она характеризует квадрат отклонения в среднем каждой величины выборки от выборочного среднего. Величина называется среднеквадратическим отклонением величин выборки от выборочного среднего.

Определение. Выборочной дисперсией (несмещенной) называется величина

. (7.5)

Очевидно, что смещенная и несмещенная выборочные дисперсии связаны формулой

. (7.6)

Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:

, (7.7)

или

, (7.8)

где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах, – частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих -той группе или -тому интервалу, – варианта для точечного ряда и середина -того интервала для интервального ряда.

Доверительное оценивание

Пусть выборка из распределения случайной величины с теоретической функцией распределения , где ‑ неизвестный параметр.

Определение. Доверительным интервалом надежности называется интервал , который накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью, не меньшей , т.е.

. (7.9)

Вероятность называется также доверительной вероятностью, ее значения обычно выбирают близкими к единице: 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.

1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)

Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, а ‑ известная дисперсия.

Доверительный интервал для параметра имеет вид

, (7.10)

где – аргумент функции Лапласа , при котором . Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 1.

2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)

Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, ‑ неизвестная дисперсия.

Доверительный интервал для параметра имеет вид

. (7.11)

Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 5 по заданным и .