I. Основы оптимизации управленческих решений

Связь в настоящее время развивается особенно высокими темпа­ми. В этом отражается возрастание роли информации в современном обществе. Объемный рост средств и сооружений связи сопровождает­ся качественными изменениями в их структуре. На смену устаревше­му и трудоемкому в обслуживании оборудованию приходят современ­ные системы связи, основанные на применении вычислительной тех­ники, в том числе микропроцессорной, использующей электронную элементную базу. Появляются новые средства передачи информации, расширяются функциональные возможности аппаратуры.

Необходимость совершенствования планирования хозяйства от­расли и управления сетями связи на всех уровнях вызывает потребность в использовании математических методов и применения ЭВМ.

Управление производственными и технологическими процессами, структурными подразделениями и всей отраслью связи направлено на достижение целей, определяемых планами.

1. Значение математических методов и вычислительной техники в управлении отраслью связи

Широкое распространение работ по автоматизации планирова­ния и управления в связи, механизации технологических процессов на предприятиях требует использования ЭВМ и современных матема­тических методов.

В министерствах связи, ОПТУС и на многих крупных предприятиях создаются и функционируют автоматизирован­ные системы управления (АСУ). АСУ всегда создаются для конкрет­ной организации. Разработанную для одного предприятия автомати­зированную систему нельзя без каких-либо изменений применить на другом предприятии.

Обеспечивающая часть АСУ включает в себя техническое обес­печение, информационное обеспечение, программное и математичес­кое обеспечение.

Техническое обеспечение включает в себя комплекс техничес­ких средств обора и регистрации данных, аппаратуру передачи дан­ных, средства обработки и отображения информации. Вычислительные центры отрасли и предприятия связи оснащаются, как правило, уни­версальными ЭВМ.

2. Сущность и значение оптимизации

Оптимизация - это придание объекту наилучшего в определенном смысле качества. В реальных условиях объект оптимизации должен об­ладать многими качествами, причем улучшение одних приводит к ухуд­шению других: увеличение надежности систем связи приводит к росту стоимости и т.п.

Количественная мера качества называется показателем качества. Показатель качества, экстремальное значение которого ищется в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности.

Поиск оптимального решения включает в себя следующие этапы:

1. Постановка задачи. Сначала задачу формулируют в обычных терминах. Определяют цели, варианты различных действий и их влияние на характеристики управляемого объекта или процесса. Устанавли­вают управляемые x=(x₁, x₂,…, x_n) неуправляемые переменные и са­мое главное устанавливаю ограничения на переменные.

2. Выбор критерия оптимальности. Важнейший момент в процессе оптимизации. Критерий должен быть представительным, т.е. выделять главное, чувствительным к изменению управляемых параметров. Кроме того, критерий должен быть простым и удобным.

Если необходимо улучшить несколько качеств, за критерий выбирают один из показателей, а остальные выступают как ограничения.

Зависимость критерия оптимальности F(x) от управляемых переменных x=(x₁, x₂,…, x_n) называется целевой функцией

F(x) = F(x₁, x₂,…, x_n).

3. Отыскание оптимальных решений. На этом этапе с помощью конкретного метода программирования ведут поиск таких переменных x₁, x₂,…, x_n , при котором целевая функция принимает экстремальное значение

F(x) = F(x₁, x₂,…, x_n) ex

при условии, что выполняются все ограничения.

Нужно отметить, что в условиях руководства производством машин­ные метода оптимизации дают лишь количественную оценку ситуации. Окончательное решение принимает человек.

1.4. Классические методы оптимизации

Рассмотрим случай, когда функция цели F зависит только от одной переменной x . На рис.1.3 дано графическое представление F(x), которая имеет локальный минимум в точке x₀* и глобальный в точке x* .

Классический подход к задаче нахождения значений x₀ и x* состоит в поиске уравнений, которым они должны удовлетворять. Представленная на рис.1.3 функция цели и ее производные непрерыв­ны и видно, что в точках x₀ и x* производная F'(x) равна нулю. Следовательно, x₀ и x* будут решениями уравнения.

F'(x) =0 (1.1)

Точка x_m, в которой достигается локальный максимум, и точка x_c, в которой имеется точка перегиба, также удовлетворя­ют этому уравнению. Следовательно, уравнение(1.1) является только необходимым условием минимума, но не является достаточным условием минимума.

Нужно заметить, что в точках x₀ и x* производная F'(x) ме­няет знак с отрицательного на положительный. В точке x_m знак ме­няется с положительного на отрицательный, а в точке x_c он не ме­няется. Следовательно, производная в минимуме является возрастаю­щей функцией, а степень возрастания F'(х) измеряется второй про­изводной, можно ожидать, что F"(x₀)>0 и F"(x^*)>0 , а F"(x_m)<0 .

Для определения различия между локальным и глобальным миниму­мами необходимо сравнить значение функций F(x₀) и F(x^*) .

Бывают ситуации, когда уравнение F'=0 не решается просто. Тогда приходится прибегать к численным методам.

С помощью численных методов мы непосредственно ищем минимум

Рис. 1.1

Рис. 1.2

функции F'(x) в некотором интервале a<x<b , в котором, как предполагается, лежит этот минимум, вычисляя значение функции це­ли в выбранных точках данного интервала (рис.1.2).

Предположим, что точки a и b ограничивают интервал, который содержит истинную точку минимума. Если рассчитать значения функции F в трех точках x₁ , x₂ , x₃ , таких, что a<x₁<x₂<x₃<b , а F(x₀)< F(x₁) и F(x₂)< F(x₃), то x₁<x^*<x₃ .

Тогда точка x^* будет лежать внутри интервала (x₁,x₃), мень­шего по размеру, чем интервал (a,b).

Если нужно определить минимум более точно, то существуют специальные методы: метод Фибоначчи, метод "золотого сечения" и др. Подробно об этих методах можно прочитать в /4/. Там же приведены программы, реализующие эти методы, написанные на языке Бейсик.