4.Оптимизация задачи методом потенциалов.
Для оптимизации транспортной задачи в качестве опорного возьмем план по методу северо-заподного угла. Исходная таблица имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Ресурсы |
A |
2 64 |
3 56 |
4 |
4 |
3 |
120 |
B |
2 |
2 32 |
3 52 |
4
|
3 |
84 |
C |
2 |
1 |
3 48 |
2
|
3 |
48 |
D |
1 |
2 |
3 20 |
4 40 |
5 4 |
64 |
E |
0 |
0 |
0
|
0
|
0 30 |
30 |
Заявки |
64 |
88 |
120 |
40 |
34 |
|
Обозначим потенциалы пунктов отправления (АТС) как U1..U5, а потенциалы пунктов назначения как V1..V5. Изобразим стрелками направления телефонизации районов.
V1 V2 V3 V4 V5
.
. . . .
. . . . .
U1 U2 U3 U4 U5
Исходя из того, что Vj=Ui+Cij ,Cij – стоимость прокладки кабеля.
Критерий оптимальности состоит в том, что разность потенциалов между пунктами назначения и отправления должна быть меньше стоимости перевозки:
Vj-Ui-Cij≤0
В тех клетках, где стоят перевозки на оптимальность проверять не надо, т.к. там условие будет равно нулю. Проверяются пустые клетки.
Принимаем один из потенциалов равным любому числу, т.к. для нас принципиальна разность потенциалов, а не их абсолютные значения.
Пусть U1=0, тогда:
V1=U1+C11=2 U1=0
V2=U1+C12=3 U2=V2-C22=1
V3=U2+C23=4 U3=V3-C33=1
V4=U4+C44=5 U4=V3-C43=1
V5=U4+C45=6 U5=V5-C55=6
Для всех пустых клеток проверим критерий оптимальности: Vj-Ui-Cij≤0
X13: V3-U1-C13= 4-0-4= 0 X41: V1-U4-C41= 2-1-1= 0
X14: V4-U1-C14= 5-0-4= 1 X42: V2-U4-C42= 3-1-2= 0
X15: V5-U1-C15= 6-0-3= 3 X51: V1-U5-C51= 2-6-0= -4
X21: V1-U2-C21= 2-1-2=- 1 X52: V2-U5-C52= 3-6-0= -3
X24: V4-U2-C24= 5-1-4= 0 X53: V3-U5-C53= 4-6-0= -2
X25: V5-U2-C25= 6-1-3= 2 X54: V4-U5-C54= 5-6-0= -1
X31: V1-U3-C31= 2-1-2= -1
X32: V2-U3-C32= 3-1-1= 1
X34: V4-U3-C34= 5-1-2= 2
X35: V5-U3-C35= 6-1-3= 2
Максимальное положительное значение получили в клетке Х15. Это говорит о том что построенный план неоптимальный. В этом месте добавим в таблицу перевозку К. Это вызывает нарушение баланса по столбцу 5, следовательно в нем необходимо отнять К (клетка D5). В строке D прибавим К (клетка D3). Для соблюдения баланса по столбцу 3 и строке B отнимем К в клетке В3. В строке B прибавим K в клетке B2. Для сбалансирования столбца 2 отнимем K в клетке А3(Табл.6).
Табл.6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Ресурсы |
A |
2 64 |
3 56-K |
4 |
4 |
3 +К |
120 |
B |
2 |
2 32+K |
3 52-K |
4
|
3 |
84 |
C |
2 |
1 |
3 48 |
2
|
3 |
48 |
D |
1 |
2 |
3 20+K |
4 40 |
5 4-K |
64 |
E |
0
|
0 |
0
|
0
|
0 30 |
30 |
Заявки |
64 |
88 |
120 |
40 |
34 |
|
Так как все перевозки положительны, то при перераспределении ресурсов К выбираем равным наименьшему числу от которого отнимаем. В данном случае К=4. Новая таблица имеет вид:
Табл.6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Ресурсы |
A |
2 64 |
3 52 |
4 |
4 |
3 4 |
120 |
B |
2 |
2 36 |
3 48 |
4
|
3 |
84 |
C |
2 |
1 |
3 48 |
2
|
3 |
48 |
D |
1 |
2 |
3 24 |
4 40 |
5
|
64 |
E |
0
|
0 |
0
|
0
|
0 30 |
30 |
Заявки |
64 |
88 |
120 |
40 |
34 |
|
Стоимость нового плана равняется 888 единиц.
Для новой матрицы строим новый рисунок:
V1 V2 V3 V4 V5
.
. . . .
. . . . .
U1 U2 U3 U4 U5
Аналогичным образом определяем потенциалы для новой таблицы:
U1=0 V4=U4+C44=5
V1=U1+C11=2 U3=V3-C33=1
V2=U1+C12=3 U4=V3-C43=1
U2=V2-C22=1 V5=U1+C15=3
V3=U2+C23=4 U5=V5-C55=3