Литература.

1.Балашевич В.А. Основы математического программирования.- Мн.:Выш.шк.,1985.-173 с.

2.Габасов Р.,Кириллова Ф.М. Методы оптимизации.-Мн.,Изд-во БГУ, 1975.-280 с.

3.Кузнецов Ю.Н., КузубовВ.И., ВолощенкоА.Б. Математическоепрограммирование.-М.:Высш. Шк., 1980.-300 с.

4.Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Задачи и методы линейного программирования. М.:Наука,1969.

5.Web сайты Internet.

Контрольная работа

Контрольная работа посвящена изучению методов использования транспортной задачи для оптимизации сетей связи. Исходные данные к работе необходимо получить у преподователя.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. В городе имеется четыре АТС со свободной номерной ёмкостью (A,B,C,D). Известно количество свободных телефонных номеров на каждой станции. Также имеется пять районов(1,2,3,4,5), которые требуют телефонизации. Известно, сколько человек в каждом районе стоит в очереди. Известно также расстояние от каждой АТС до центра каждого района. Спрашивается, как разделить имеющуюся телефонную ёмкость между районами так, чтобы расход кабеля и стоимость всей операции был минимальным? (Номера от одной АТС могут попадать в разные районы).

Такого рода задачи решаются с помощью алгоритма, который называется транспортной задачей линейного программирования.

Существуют два типа транспортной задачи: открытая и закрытая. Транспортная задача называется открытой если сумма запасов отличается от суммы заявок.

Транспортная задача называется закрытой, если сумма запасов равняется сумме заявок. Решение существует только для закрытой транспортной задачи, поэтому если транспортная задача открытая, то ее надо привести к закрытому типу. Для этого в случае, если количество запасов превышает количество заявок, то вводят фиктивного потребителя, который выбирает весь избыток запасов В случае же, если существует дефицит запасов, т.е. заявок больше, чем запасы на складах, то вводят фиктивного поставщика, с фиктивным количеством запасов на складе. В обоих случаях в матрице тарифов перевозок данному складу или потребителю проставляется нулевая цена перевозки.

Т.к. в нашем случае число свободных номеров превышает число заявок, то все заявки будут удовлетворены и часть номеров останутся лишними, задача является открытой. Чтобы сбалансировать задачу необходимо ввести фиктивный столбец с нулевыми стоимостями. Тогда задачу можно представить в виде матрицы следующего вида: сверху в строку пишут районы, которые нуждаются в телефонизации, в первый столбец пишутся станции A, B, C, D в нижней строке и в соответствующем столбце пишется потребность районов в телефонных номерах. В правом верхнем углу каждой клетки пишется расстояние от АТС до центра каждого района. Свободная номерная ёмкость каждой АТС, потребность районов в телефонных номерах и стоимость прокладки кабеля заданы в соответствии с номером зачётной книжки (160803-01). В итоге матрица имеет вид (Табл.1):

Табл.1

	1	2	3	4	5	Ресурсы
A	2	3	4	4	3	120
B	2	2	3	4	3	84
C	2	1	3	2	3	48
D	1	2	3	4	5	64
Заявки	64	88	120	40	34

Требуется распределить свободную номерную ёмкость между районами так, чтобы все заявки были удовлетворены, свободные номера исчерпаны, а стоимость всей операции была минимальной.

Поставим эту задачу как задачу линейного программирования. Обозначим xij – количество единиц груза, отправляемого из i-того пункта отправления в j-тый пункт назначения. Неотрицательные переменные xij тоже можно записать в виде матрицы:

x11 x12 ...x1n

x21 x22 ...x2n (2)

.................... ,

xm1 xm2 ...xmn

которая коротко обозначается(xij). Cовокупность чисел (xij) (2) называется “планом перевозок”, а сами величины xij – “перевозками”.Эти неотрицательные переменные должны удовлетворять следующим условиям:

1.Суммарное количество груза, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте. Это даст нам m условий-равенств:

x11+x12+...+x1n=a1,

x21+x22+...+x2n=a2,

. . . . . . . . . . . . . . . . (3)

xm1+xm2+...+xmn=am.

2.Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом. Это даст нам n условий-равенств:

x11+x21+...+xm1=b1,

x12+x22+...+xm2=b2, (4)

. . . . . . . . . . . . . . . .

x1n+x2n+...+xmn=bn.

3.Суммарная стоимость всех перевозок, то есть сумма величин xij, умноженных на соответствующие стоимости сij, должна быть минимальной:

m n

L=cijxij=min, (5)

i=1 j=1

Где знак двойной суммы означает, что суммирование производится по всем комбинациям индексов i и j.

Мы видим, что перед нами – задача линейного программирования с условиями-равенствами (3),(4) и минимизируемой линейной функцией (5). Особенностью этой задачи является то, что все коэффициенты в условиях (3), (4) равны единице – это позволяет решать задачу очень простыми способами. О них и пойдёт речь.

Прежде всего, замечаем, что условия-равенства (3), (4) не являются линейно независимыми, так как их правые части связаны условием (1). Число линейно независимых среди уравнений (3),(4) равно не m+n (числу уравнений), а m+n-1. Общее число переменных xij в нашей задаче равно m*n; как бы ни разрешать уравнения (3), (4), число базисных переменных будет равно m+n-1, а число свободных переменных

k=m*n-(m+n-1)=(m-1)*(n-1).

В нашем случае для оптимального плана, по крайней мере, (m-1)*(n-1) перевозок должны быть равны нулю (из соответствующих пунктов отправления в соответствующие пункты назначения ничего не перевозится).

Будем называть любой план перевозок допустимым, если он удовлетворяет условиям (3),(4) (все заявки удовлетворены, все запасы исчерпаны). Допустимый план будем называть опорным, если в нём отличны от нуля не более m+n-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны нулю. План будем называть оптимальным, если он, среди всех допустимых планов, приводит к минимальной суммарной стоимости перевозок (L=min).

В силу особой структуры транспортной задачи при её решении не приходится решать систему уравнений. Все операции по нахождению оптимального плана сводятся к манипуляциям непосредственно с таблицей 1. Решение такого рода задач начинается с построения опорного плана.