Лабораторная работа n 4

Методы нелинейного программирования.

Цель работы: Изучить наиболее часто используемые на практике методы поиска безусловного минимума функции одной переменной Y=f(x) и получить навыки их программной реализации.

Задача ставится следующим образом: требуется найти X_m, при котором достигается локальный минимум Y_m=f(X_m),т.е. для любого х из некоторой e окрестности E={X,ABS(X-X_m) <e} выполняется F_m < f(x).

Представить и защитить отчет, который включает:

1. График, выбранной функции.

2. Блок-схему алгоритма выбранного метода.

3. Программу на языке Паскаль, таблицу результатов.

Программа должна содержать:

1) подпрограмму вычисления минимизируемой функции;

2) подпрограмму для метода нахождения минимума с формальными параметрами (имя оптимизируемой функции, начальные значения (Х0,h) точность e, значение полученного минимума Y_m и его положение X_m), предусмотреть возможность выдачи промежуточных значений X_i, Y_i;

3) задание исходных данных, печать X_m, Y_m.

Варианты заданий

Найти min F(x): e=0.01 - 0,0001; X0 в интервале (a,b), h=.01 – 1

N	Минимизируемая функция	[ a, b ]
1.	Y=(x3 + 4sinx)	[ -5, 10 ]
2.	Y=ex - 6x - 3	[ -1, 7 ]
3.	Y=3x + cosx +1	[ -2, 5 ]
4.	Y= x3 + sinx - 12x +1	[ -7, 7 ]
5.	Y= x2 - cos2 pi(x)	[ -3, 3 ]
6.	Y= (x - 1)3 + 0,5ex	[ -4, 4 ]
7.	Y=0,1ex - sin2x + 0,5	[ -2, 2 ]
8.	Y= sin (x2 + x + 1)	[ -3, 3 ]
9.	Y= x sinx/2 -1	[ -2, 2 ]
10.	Y= x + ln(x +0,5) - 0,5	[ 0, 2 ]
11.	Y=(2sin22x)/3 - (3cos22x)/4	[ 0, 2 ]
12.	Y=(4 + x2)(ex - e-x)	[ 1, 4 ]
13.	Y=x2-1,3ln(x+0,5)-2,8x+1,15	[ 1, 4 ]
14.	Y= 1,8x4 - sin10x	[-0,5, 2 ]
15.	Y= sinx - 1/x	[-pi, pi ]

Метод равномерного поиска

Метод основан на том, что переменной Х присваивается значение X+dX с шагом dX=h, вычисляют значения F(X) и F(x+1), сравнивают их и если F(X+1)<F(X), переменной X дается новое приращение. Как только F(X_n+1) станет больше F(Xn), поиск останавливается.

При малой погрешности вычислений метод неэкономичен по времени.

Метод поразрядного приближения

Является разновидностью метода равномерного поиска, его

алгоритм:

1. Задаем начальное значение X=X₀, начальный шаг поиска h=D,

погрешность вычислений результата e=Е и вычисляем F(X₀).

2. Полагаем G=F(X_n), где вначале F(X_n)=F(X₀), задаем X=X-D и

вычисляем F(X_n+1)=F(X).

3. Проверяем условие F(Xn+1) < G, если оно выполняется, идем к

п. 2, нет - к п. 4.

4. Полагаем D=-D/4.

5. Проверяем условие ABS(D) > Е/4. Если оно выполняется, идем к п.2, т.е. обеспечиваем поиск минимума в другом направлении с шагом в 4 раза меньше прежнего. Если данное условие не выполняется заканчиваем счет.

6. Выводим на печать Х_м и вычисляем F(Х_m).

Пример.

Найти минимум функции F(X)= 0.1X³-2X²+10X.

Дано: X₀=2, D=1, e=0.001

Ответ: X_m=0,66706875,

F(Xm)=10,81481312

Программа

10 print "Поиск минимума F(x) методом поразрядного приближения"

15 input "Задайте начальное значение Х₀, начальный шаг поиска D, погрешность вычислений результата e"; X, D, Е

20 gosub 60

25 G=F; X=X-D

30 gosub 60

35 if F<G then 25

40 D=-D/4

45 if ABS(D) > E/4 then 25

50 print "X_m=" X; print "F(X_m)=" F

55 End

60 F=((.1*x-2)*x+10)*x

65 Return