Критерий Найквиста

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома

тогда сделаем подстановку и получим:

Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду:

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции

Сомножитель
k	k	0
p	ω

После чего построим годограф для вспомогательной функции , для чего будем изменять

При , а при (так как n<m и )

Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя и знаменателя

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции , соответственно, точку с координатами

Запас устойчивости сау

Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:

• Отбрасывание нелинейных слагаемых при линеаризации.

• Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САУ, определяются с погрешностью.

• Устойчивость исследования для типовых систем при типовых условиях.

Критерий Рауса

• Чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.

Критерий Гурвица

• Запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.

Критерий Михайлова

• Вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О (0; 0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.

Критерий Найквиста

• Здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

Сравнительная характеристика критериев устойчивости

Частотный критерий Найквиста применим, главным образом, когда трудно получить фазовые характеристики экспериментально. Однако вычисление АФХ, особенно частотных, сложнее, чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от критерия Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учётом влияния каждого звена, что придаёт критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

Порядок роботи:

Варіанти завдань обрати з таблиціь:

Структура системи

Номер бригади	Схема
1, 6
2, 7
3, 8
4, 9
5, 10

Передатні функції

Номер бригади + номер групи	W1	W2	W3	W4
2, 8
3, 9
4, 10
5, 11
6, 12
7, 13

Критерій стійкості

(номер бригади) + (номер групи) + (номер підгрупи)	Критерій
3, 6, 9, 12	Найквіста
4, 7, 10, 13	Михайлова
5, 8, 11, 14	Гурвіца

1. Знайти передатну функцію системи.

2. Отримати з передатної функції

• диференціальне рівняння;

• уявну і дійсну частотні характеристики;

• АЧХ і ФЧХ;

• ЛАЧХ і ЛФЧХ.

3. За допомогою пакету Mathcad дослідити стійкість системи за заданим критерієм.

4. Знайти запаси стійкості та дослідити їх залежність від параметрів передатної функції..

Склад звіту:

1. Титульний аркуш

2. Короткі теоретичні відомості (щодо конкретного методу аналізу стійкості).

3. Виведення передатної функції системи і необхідних для аналізу стійкості характеристик.

4. Документ Mathcad для аналізу стійкості системи.

5. Результати аналізу залежності запасу стійкості від параметрів блоків.

6. Висновки

Контрольні запитання:

1. Як знаходиться передатна функція послідовного з’єднання лінійних динамічних боків?

2. Як знаходиться передатна функція паралельного з’єднання лінійних динамічних боків?

3. Як знаходиться передатна функція з’єднання лінійних динамічних боків із зворотним зв’язком?

4. За якими правилами переносять вузли в лінійних системах, які не розкладаються на типові структури?

5. Що таке «стійкість системи»? Для яких систем нормальний режим роботи стійкий, а для яких – нестійкий?

6. Чи може бути нестійкою розімкнена система? Чому?

7. Охарактеризуйте критерій стійкості Найквіста.

8. Охарактеризуйте критерій стійкості Михайлова.

9. Охарактеризуйте критерій стійкості Гурвіца.

10. Порівняйте переваги і недоліки критеріїв стійкості.

11. Як визначається запас стійкості?