Лабораторна робота № 3

Тема: Оцінювання стійкості систем

Короткі теоретичні відомості.

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Устойчивая САУ — система, в которой переходные процессы являются затухающими.

 — операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = y_уст(t)+y_п = y_вын(t)+y_св

y_уст(y_вын) — частное решение линеаризированного уравнения.

y_п(y_св) — общее решение линеаризированного уравнения как однородного дифференциального уравнения, то есть

САУ устойчива, если переходные процессы у_n(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть при

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни p_i, p_i+1 = ±α_i ± jβ_i

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

, где ,

Из полученных результатов видно, что:

• при ∀α_i<0 выполняется условие устойчивости, то есть переходный процесс с течением времени стремится к у_уст (Теорема Ляпунова 1);

• при ∃α_i>0, выполняется условие неустойчивости (Теорема Ляпунова 2), то есть , что приводит к расходящимся колебаниям;

• при ∃α_i=0 и ¬∃α_i>0 , что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы (система на границе устойчивости) (Теорема Ляпунова 3).

Критерии устойчивости Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты	Строки	столбец 1	столбец 2	столбец 3
	1
	2
	3
	4

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица

 — Определитель Гурвица

Теорема: Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при

Критерий Михайлова

Заменим , где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах , проходила последовательно через n квадрантов.

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения — отрицательное вещественное число

Соответствующий данному корню сомножитель

2) Корень характеристического уравнения — положительное вещественное число

Соответствующий данному корню сомножитель

3) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель

, где

4) Корень характеристического уравнения — комплексная пара чисел с положительной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель

, где