§ 43.4 Вектор кутової швидкості

Для спрощення майбутніх теоретичних викладок зробимо одне припущення. Припустимо, що кутова швидкість – це вектор.

Вектором кутової швидкості твердого тіла, яке обер-тається навколо нерухомої осі, будемо називати вектор, який чисельно дорівнює модулю алгебраїчної кутової швидкості і напрямлений вдовж осі обертання в бік, звідки обертання тіла видно проти руху годинникової стрілки (рис. 104).

В

Рис. 104

ектор є ковзним вектором, бо його можна відкласти з будь-якої точки осі.

Задання вектора кутової швидкості повністю визначає обертальний рух тіла, адже він вказує на положення осі обертання, напрям обертання і швидкість обертання. Сам вектор швидкості можна виразити так:

(2.50)

де – одиничний вектор осі обертання.

Оскільки кутове пришвидшення дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості, то:

перша похідна за часом від вектора кутової швидкості визначає вектор кутового пришвидшення

(2.51)

або, використовуючи формулу (2.50) і знаючи, що , матимемо

(2.52)

З формули (2.52) випливає, що вектор кутового пришвидшення тіла, що обертається навколо нерухомої осі, також напрямлений по осі обертання, а можливі випадки взаємного розміщення векторів і показані на рис. 105).

Рис. 105

§ 43.5 Векторні вирази швидкості, доцентрового і обертального пришвидшень точки тіла при обертальному русі

Розглянемо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі (рис. 106), на якому також зображено:

– траєкторію довільної точки тіла;

– вектор її швидкості , дотичний до траєкторії і напрямлений в бік обертання;

– вектор кутової швидкості тіла з довільної її точки в бік, звідки обертання тіла видно проти руху годинникової стрілки;

– радіус-вектор точки . Початок його знаходиться в центрі .

З

Рис. 106

ауважимо, що вектор (бо вектор швидкості перпендикулярний до радіуса обертання) і (тому що вектор швидкості знаходиться в площині траєкторії, яка в даному випадку перпендикулярна до осі обертання). Отже, вектор є перпендикулярним до площини , тобто до площини, яка проходить через вектори і . Величина вектор швидкості визначається за формулою (2.44)

(а)

З маємо .

Підставивши значення у формулу (а), отримаємо

.

Отже, модуль швидкості дорівнює модулю векторного добутку і , який можна записати двояко: або . З визначення векторного добутку випливає, що тільки добуток буде визначати вектор, який співпадає за напрямом з вектором швидкості , тобто

,

або

. (2.53)

Вектор швидкості точки тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, дорівнює векторному добутку кутової швидкості на радіус-вектор точки, початок якого знаходиться в довільному центрі на осі.

Формулу (2.53) часто називають формулою Ейлера. Зауважимо, що за часів Л. Ейлера (1707-1783) поняття векторного добутку ще не існувало, але ним були отримані формули

(2.54)

які є фактично проекціями векторного добутку (2.53) на декартові осі координат.

Оскільки

то враховуючи формулу (2.53), отримаємо формулу, яка визначає значення першої похідної за часом від радіуса-вектора, який змінюється тільки за напрямом

. (2.55)

Взявши першу похідну за часом від формули (2.53)

і враховуючи, що отримаємо

Легко показати (пропонується кожному читачеві це зробити самостійно), що векторний добуток визначає вектор обертального (тангенціального) пришвидшення, а векторний добуток визначає вектор доцентрового (нормального) пришвидшення, тобто

, (2.56)

. (2.57)

Формули (2.53), (2.56), (2.57) є векторними виразами швидкості, тангенціального (обертального) і нормального (до-центрового) пришвидшень.