1.4. Способы задания и подсчет числа структур на конечных универсумах

Если универсум конечен, то предикаты и функции на нем можно представить в виде таблиц, графов и других наглядных конструкций.

Пусть, например, универсум U состоит из 6 элементов a₁, a₂, ..., a₆, и двухместное отношение P на U задано множеством пар P = {(a_i, a_j)| j делит i}; очевидно, P содержит пары (a₁,a₁), (a₂,a₁), (a₂,a₂), (a₃,a₁) и т.д.

Отношение P можно представить таблицей (рис.1), в которой на пересечении i-й строки и j-го столбца находится 1, если i делится на j, и 0  в противном случае.

	a1	a2	a3	a4	a5	a6
a1	1	0	0	0	0	0
a2	1	1	0	0	0	0
a3	1	1	0	1	0	0
a4	1	1	0	1	0	0
a5	1	0	0	0	1	0
a6	1	1	1	0	0	1

Рис. 1

Это же отношение можно задать с помощью графа с шестью вершинами, в котором из вершины с номером i в вершину с номером j проведена дуга в том и только том случае, когда (a_i, a_j)  P.

Очевидно, любая таблица размера nn, заполненная нулями и единицами, представляет некоторое двухместное отношение на множестве из n элементов, и число таких отношений равно числу различных таблиц.

Простые комбинаторные рассуждения показывают, что это число равно .

Подсчитывая все k-местные (k = 0, 1, 2, ...) отношения на множестве из n элементов (n = 1, 2, ...), получим, что их число равно .

Функции, как и отношения, можно представлять таблицами. Например, таблица на рис.2 представляет одноместную функцию, для которой f(a₁) = a₂, f(a₂) = a₂, f(a₃) = a₄ и т.д. Поскольку на каждое из 6 мест во второй строке можно поместить любой из 6 элементов, то, очевидно, число различных таких таблиц равно 6⁶ = 46656,.

x	a1	a2	a3	a4	a5	a6
f(x)	a2	a2	a4	a4	a6	a6

Рис.2

Аналогично, на универсуме из n элементов можно задать nⁿ различных одноместных функций.

Нетрудно также подсчитать число различных k-местных функций. Поскольку на множестве из n элементов можно построить n^k k-местных наборов аргументов, и на каждом наборе функция принимает одно из n значений, получаем, что это число равно .

Заметим, что функцию, представленную на рис. 2, можно задать также с помощью графа с 6 вершинами, проводя дугу из вершины с номером i в вершину с номером j, если f(a_i) = a_j.

Выпишем теперь формулу для числа всех структур сигнатуры σ = (P₁, P₂, ..., P_k; f₁, f₂, ..., f_n) на универсуме из n элементов. Пусть тип сигнатуры σ представлен набором

(ν₁, ν₂, ..., ν_k; μ₁, μ₂, ..., μ_n),

тогда число различных структур сигнатуры σ на универсуме из n

элементов равно

.

Очевидно, множество всех структур сигнатуры σ на бесконечном универсуме бесконечно.

Упражнения.

Пусть P, Q  одноместные, R, S  двухместные предикатные символы, f  функциональный одноместный символ, T  трехместный предикатный символ, Q – четырехместный предикатный символ.

1. Задать с помощью таблиц или графов модели на универсуме из n (n = 1, 2, 3, 4) элементов для следующих предложений:

а) x R(x, x),

б) xy [R(x, y) → R(y, x)],

в) xy [R(x, y)  R(y, x)],

г) xy [R(x, y) → ¬R(y, x)],

д) xy [R(x, y) → S(x, y)],

е) xyz [R(x, z) & R(z, y)],

ж) x P(f(x)),

з) x R(x,f(x)),

и) xyz[R(x, z)  R(z, y)].

2. Доказать, что предложение

xy [[R(x, y) & ¬R(y, x)] → [R(x, x) ↔ R(y, y)]]

истинно в любой структуре, содержащей не более трех элементов.

3. Доказать, что предложение

xy R(x, y) & xy [R(x, y) → ¬R(y, x)] & xyz [R(x, y)&R(y, z) →R(x, z)]

ложно во всех конечных структурах и истинно в некоторых бесконечных.

4. Доказать, что предложение

x R(x, x) → xy [R(y, x)  z [R(y, z) & ¬R(x, z)]]

истинно на всех конечных структурах и ложно на некоторых бесконечных.

5. Найти число структур соответствующей сигнатуры на универсуме U_n, состоящем из n элементов, в которых истинны следующие предложения:

1. x R(x, x),

2. x ¬R(x, x),

3. x R(x, x),

4. x ¬R(x, x),

5. xy [R(x, y) & R(y, x)],

6. xy [R(x, y) v R(y, x)],

7. xy [R(x, y) & ¬R(y, x)],

8. xy [¬R(x, y) & ¬R(y, x)],

9. xy R(x, y), xy R(x, y),

10. xP(x), x P(x),

11. x[P(x) v ¬P(x)],

12. x[P(x) & ¬P(x)],

13. x[P(x) & Q(x)],

14. x[P(x) v Q(x)],

15. x[P(x) & Q(x)],

16. x[P(x)  Q(x)],

17. x[P(x) → Q(x)],

18. x[P(x)  y R(x, y)],

19. x[¬P(x) & y ¬R(x, y)],

20. x[P(x) → y R(x, y)],

21. x[P(x) → y R(y, x)],

22. xyz [P(x) & Q(y)  ¬P(x) & Q(z)],

23. xyz [P(x) & Q(y) & ¬Q(z)],

24. x P(f(x)),

25. x P(f(x)),

26. xy [y ≠ x & R(x, y)],

27. xy [x ≠ y → R(x, y)],

28. x (f(x) ≠ x),

29. x (x=f(f(x))),

30. x [P(x)→y R(x, y)],

31. xyz T(x, y, z),

32. xyz T(x, y, z),

33. xyz T(x, y, z),

34. xyz T(x, y, z),

35. xyz T(x, y, z),

36. xyz T(x, y, z),

37. x [P(x) → y R(x, y) & y ¬R(x, y)],

38. xyzuv Q(x, y, z, u, v).