3.3 О приближенной выразимости свойств структур в логических языках.

В дальнейшем нам потребуются некоторые новые обозначения. Пусть U_n = U_n()  множество всех структур сигнатуры  на универсуме U_n= {1, 2, ..., n}, .

Для выражения свойств структур из множества A можно использовать как предложения естественного языка, так и формальных языков таких, например, как язык L(). Если L  один из таких языков, то будем считать заданным отношение выполнимости (истинности) на произведении UL. При расширениях языка L будем доопределять соответствующим образом и отношение выполнимости.

Для любого предложения A языка L множество структур, на которых истинно A, будем обозначать через [[A]].

Свойство C  U назовем выразимым в языке L предложением A, если [[A]] = C.

Если C  U, то через C_n обозначим пересечение C  U_n.

Свойство C  U назовем слабо выразимым в языке L предложением A, если C_n = [[A]]_n при любом n.

Свойство C  U назовем асимптотически выразимым в языке L предложением A, если

1 при n.

Предложение A в таком случае назовем приближением свойства C в языке L. Предложение A назовем приближением свойства C снизу (сверху), если при этом [[A]]_n  C_n (C_n  [[A]]_n).

Ограниченность возможностей для выражения свойств структур формулами логики первого порядка (или, что то же самое, конечным множеством таких формул) можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть R  двухместное отношение на некотором универсуме U. Будем называть его связным, если для любых элементов x, y  U существует конечная последовательность z₁, z₂, ..., z_k элементов из U такая, что (x, z₁)  R, (z_k,y)  R, и для любого i=1,2,...,k-1 (z_i, z_i+1)  R.

Легко описать свойство связности отношения R бесконечной формулой. Действительно, пусть A₀= R(x, y) и для каждого k = 1,2,...

A_k = z₁z₂ ... z_k[R(x, z₁) & R(z₁, z₂) & ... & R(z_k-1, z_k) & R(z_k, y)],

тогда бесконечная формула

xy [A₀  A₁  ...  A_k  …]

при естественном понимании бесконечной дизъюнкции выражает свойство связности отношения R.

Свойство связности отношения R можно выразить также формулой второго порядка

P [xP(x) & x P(x)  xy [P(x) &  P(y) & R(x, y)]],

где P  одноместная предикатная переменная. Однако на вопрос, существует ли формула первого порядка, выражающая свойство связности, дадим отрицательный ответ. Для этого используем теорему Робинсона о бесконечно возрастающих цепях формул.

Бесконечную последовательность Y={Y₁, Y₂, ...} формул первого порядка назовем строго возрастающей, если Y_iY_i+1 для i = 1,2,... , но не выполняется Y_i+1  Y_i.

Теорема. Для любой бесконечно возрастающей последовательности Y формул первого порядка не существует формулы логически равносильной этой последовательности.

Действительно, пусть имеется формула A такая, что A  Y, тогда по теореме компактности существует конечное подмножество Y'  Y такое, что Y'  A. Следовательно, для некоторого i выполняется Y_i  A. С другой стороны, A  Y и, следовательно, A  Y_i+1. Но тогда Y_i  Y_i+1, что противоречит условию строгого возрастания цепи Y.

Рассмотрим теперь последовательность формул

Y_k = [A₀A₁ ... A_k],

где k = 0, 1, 2,… Очевидно, эта последовательность, строго возрастающая, и выражает несуществование пути между x и y, откуда и следует невыразимость связности отношения R.