2.8 Расширение элементарных теорий

В процессе изучения теории часто полезным оказывается ее расширение или сужение. Теория T' = (σ', Γ') называется расширением теории T = (σ, Γ), если σ  σ' и [Γ]  [Γ']. Расширение T' называется консервативным, если [Γ']  Form(σ) = [Γ].

Консервативные расширения теории возникают, например, когда с помощью определений в теорию вводятся новые нелогические символы.

Например, в рассмотренной выше элементарной теории групп Γ можно ввести новый функциональный одноместный символ S для выражения операции обращения, а к множеству аксиом добавить предложение

xy [y = S(x)  xy = e).

Легко показать, что полученное расширение теории Γ является консервативным. Введение функционального символа S в теорию Γ служит примером явного определения.

Вообще, явным определением нового функционального k-местного символа f  σ в теории T = (σ, Γ) называется предложение вида

x₁x₂ ... x_ky [y = f (x₁, x₂, ..., x_k)  B],

где B  Form(σ), переменные x₁, x₂, ..., x_k, y попарно различны и этот список совпадает со списком свободных переменных формулы B.

Чтобы такое определение было корректным, необходимо, чтобы предложение

A = x₁x₂ ... x_k !y B

было теоремой в теории T. Выражение !y означает "существует единственное y", избавиться от этого выражения можно, заменив предложение A предложением

x₁x₂ ... x_kyz [y = z  B_y[z]].

Явным определением k-местного предикатного символа P  σ в теории T = (σ, Γ) называется предложение вида

x₁x₂ ... x_k [P(x₁, x₂, ..., x_k)  B],

где B  Form(σ), и список попарно различных переменных x₁, x₂, ..., x_k совпадает со списком свободных переменных формулы B.

Легко доказать, что расширения теорий с помощью явных определений являются консервативными, что согласуется с интуитивным представлением о роли определений в математических теориях.

Явная определимость нелогических символов в теориях используется не только для расширения теорий, но, когда это необходимо, и для исключения из теорий избыточных символов.

Семантическим методом неопределимости нелогического символа теории через остальные является метод Падоа, который заключается в следующем. Чтобы доказать, что нелогический символ P  σ не определяется в теории T = (σ, Γ) через остальные, достаточно найти две модели сигнатуры σ, в которых истинны все предложения из множества Γ и отличающиеся друг от друга только интерпретацией символа P.

В качестве примера рассмотрим сигнатуру σ = {R, P}, где R, P  двухместные предикатные символы, и множество Γ, состоящее из аксиом

xyz [P(x, y) & P(y, z) → P(x, z)],

xyz [R(x, y) & R(y, z) → R(x, z)],

xy [[P(x, y)  P(y, x)  R(x, y)] & [P(x, y) & P(y, x) & R(x, y)]].

Рассмотрим на универсуме U = {1, 2} две структуры S₁ = (U; <, =) и S₂ = (U; >, =). На обеих структурах все формулы из множества Γ истинны, причем символ R интерпретируется одинаково, как равенство, а символ P интерпретируется по-разному, следовательно, P не определяется через R.

Неконсервативные расширения используются, когда на рассматриваемый класс структур необходимо наложить дополнительные требования. Например, добавляя к аксиомам теории Γ аксиому коммутативности

xy (xy = yx),

получим неконсервативное расширение, а именно, элементарную теорию коммутативных групп.

Две теории T = (σ, Γ) и T' = (σ', Γ') называются эквивалентными, если σ = σ' и [Γ] = [Γ']. Теории T и T' называются слабо эквивалентными, если некоторое расширение теории T с помощью определений эквивалентно некоторому расширению теории T ' с помощью определений.

Упражнения

1) Рассмотрим теорию G' сигнатуры {=, :} с аксиомами

xyz ((x:z):(y:z) = x:y),

xy ((x:(y:y)) = x),

xyz ((x:x):(y:z) = z:y),

где ":"  функциональный двухместный символ. Доказать, что теория G' слабо эквивалентна теории G.

2) Показать, что для каждой теории T существует теория T ', не содержащая функциональных символов, слабо эквивалентная теории T.