2.7 Некоторые замечания о возможностях формализации математических теорий

При определении понятия структуры мы полагали, что функциональные символы интерпретируются как всюду определенные функции. В некоторых случаях это приводит к затруднениям. Например, рассматривая операцию деления в области R вещественных чисел как функцию, замечаем, что она не всюду определена из-за невозможности деления на нуль. Можно предложить два выхода из этого положения: либо доопределить эту функцию, либо рассматривать операцию деления как трехместное отношение

{(a, b, c)| (b  0) & (a/b = c)}.

Радикальным выходом было бы развивать семантику с использованием частичных функций, однако, это привело бы к усложненной системе и, как мы только что видели, не внесло бы ничего нового.

Другим затруднением является то, что многие важные математические структуры содержат элементы различных типов. Например, линейное векторное пространство состоит из векторов и скаляров.

В таких случаях можно было бы рассматривать так называемые многосортные структуры и, соответственно, языки, либо воспользоваться техникой объединения сортов. Продемонстрируем обе эти возможности на упомянутом выше примере линейного векторного пространства.

(1) Рассмотрим векторное пространство как структуру с двумя универсумами P и V

(P, V; +, , 0, 1, , , ),

где P  поле скаляров, V  множество векторов, (V, , )  аддитивная коммутативная группа, (P, +, , 0, 1)>  поле, а   отображение PV → V.

Напомним, что

  операция сложения векторов,

  нулевой вектор,

  операция умножения векторов на скаляры.

Для описания такой структуры мы используем двух сортный язык. Он будет отличаться от введенного ранее языка тем, что в нем будут использоваться переменные двух сортов. Переменные одного сорта x₁, x₂, ... для скалярных величин, и переменные другого сорта v₁, v₂, ... для векторов. Для иллюстрации приведем некоторые аксиомы теории линейных векторных пространств.

Ассоциативность сложения скаляров

x₁x₂x₃ [(x₁+(x₂+x₃))=((x₁+x₂)+x₃)].

Ассоциативность сложения векторов

v₁v₂v₃ [(v₁(v₂v₃))=((v₁v₂)v₃)].

(2) То же самое векторное пространство можно рассматривать как структуру с одним универсумом P  V, применяя, так называемую, редукцию сортов. Чтобы различать векторы и скаляры в этом "смешанном" универсуме, вводят два одноместных предиката P и V, считая P(x) истинным тогда и только тогда, когда x  P, а V(x)  тогда и только тогда, когда x  V.

В аксиомах для каждой из переменных должно быть указано, какому из предикатов P, V она удовлетворяет. Так одна из аксиом будет выглядеть следующим образом

x y z [P(x) & V(y) & V(z) → x(yz) = xyxz].

Рассмотрим пример, в котором встречаются качественно другие трудности формализуемости математических теорий. Группой с вращением называется группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок, то есть для каждого элемента a из группы найдется натуральное число n такое, что aⁿ равно нейтральному элементу e. Это свойство можно было бы описать бесконечной формулой

x [x = e  xx = e  xxx = e  ...],

однако, в логике первого порядка допускаются только конечные формулы.

Более того, известно, что в логике первого порядка не существует множества формул, моделями которых являлись бы в точности группы с вращением.

Следующая проблема возникает из желания описать арифметическую структуру (N; + , , 0, 1), где N  множество натуральных чисел, системой аксиом с точностью до изоморфизма, то есть написать такую систему аксиом, чтобы упомянутая выше структура была единственной с точностью до изоморфизма ее моделью.

Для простоты рассмотрим структуру (N; S, 0), где S  одноместная функция на N, такая что S (x) = x+1.

Рассматриваемая структура удовлетворяет системе аксиом Пеано:

(1) ни при каком значении аргумента число 0 не является значением функции S;

(2) S  инъективное отображение;

(3) для каждого подмножества M  N: если 0  M и для каждого x из M число S (x) так же принадлежит M, то M = N (это так называемая аксиома индукции).

Первые две аксиомы легко формализуются в рамках логики первого порядка в сигнатуре {S, 0} в виде следующих формул:

(A1) x  (S(x) = 0),

(A2) xy [S (x) = S(y) → x = y].

Третья аксиома могла бы быть легко формализована, если наряду с предикатными константами ввести в рассмотрение предикатные переменные и использовать кванторы не только по индивидным переменным, но и по предикатным. Полученный таким способом язык называется логическим языком второго порядка.

В рамках логики второго порядка аксиома (3) может выглядеть как

(A3) M [M (0) & x [M (x) → М (S (x))] → y M (y)],

где M, предикатная переменная.

Известная теорема Дедекинда утверждает, что любая структура сигнатуры {S, 0} изоморфна структуре (N; S, 0), однако, известно, что в рамках логики первого порядка не существует системы аксиом, описывающей структуру (N; S, 0) однозначно с точностью до изоморфизма.

Не приводит к успеху также попытка заменить аксиому (A3) бесконечным множеством аксиом вида

A(0) & x[A(x) → A(S(x))] → xA(x),

где A(x)  произвольная формула логики первого порядка, имеющая свободное вхождение переменной x, а формулы A(0) и A(S(x)) получены из A заменой свободных вхождений переменной x на 0 и на S(x), соответственно. Заметим, что множество таких формул счетное, а множество подмножеств M, о которых идет речь в аксиоме (A3), континуально.