2.6. Арифметика Пресбургера

Арифметику натуральных чисел обычно формализуют в сигнатуре _N = (0, s, +, ). Стандартной моделью считается структура с основным множеством N натуральных чисел, включая число 0, s интерпретируется, как одноместная функция взятия следующего числа, + и  интерпретируются как обычные операции сложения и умножения натуральных чисел. Известно, что множество Th(N) предложений, истинных в стандартной модели, алгоритмически неразрешимо.

Рассмотрим сигнатуру _Z = (0, 1, +, , =, <, D₂, D₃, …), полученную удалением из сигнатуры _N функционального символа “” и добавлением к ней функционального двухместного символа “” и одноместных предикатных символов D₂, D₃, … . Стандартной моделью считаем структуру с основным множеством Z целых чисел; функциональные символы + и   интерпретируются как операции сложения и вычитания целых чисел, D_m  одноместный предикатный символ, который при заданном значении m = 2, 3,… интерпретируется следующим образом

D_m(x)  "число x делится на m без остатка”.

Теорию полученной таким образом структуры называют арифметикой Пресбургера. Ниже мы покажем, что к этой теории применим метод элиминации кванторов. Но предварительно вспомним потребующуюся нам в дальнейшем китайскую теорему об остатках.

Китайская теорема об остатках.

Пусть m₁, m₂, …, m_k – набор, состоящий из k (k > 1) натуральных попарно взаимно простых чисел, и целые числа r₁, r₂, …, r_{k –} удовлетворяют неравенствам 0  r_i  m_i (i = 1,2,…, k). Тогда существует единственное натуральное число K, удовлетворяющее неравенству K  M = m₁·m₂·…·m_k и такое, что K mod m_i = r_i (i = 1,2,…, k).

Искомое число K можно найти следующим образом. Для i = 1,2,…, k положим M_i = M/m_i. Очевидно при каждом значении i числа M_i и m_i – взаимно просты, поэтому для каждого i = 1,2,…, k существуют числа u_i, v_i такие, что

m_iu_i + M_iv_i = 1.

Умножая это равенство на r_i, получим

m_iu_i r_i+ M_iv_ir_i = r_i. (1)

Заметим, что

r_i, при j = i (из равенства (1)

(M_iv_ir_i) mod m_j = 

0, при j  i. (из определения M_i).

и, следовательно, в качестве K можно взять ( M_iv_ir_i) mod M.

Переходим теперь к рассмотрению манипуляций с формулами арифметики Пресбургера, используемыми при элиминации кванторов. Для краткости терм вида 1 + 1 + … + 1, содержащий k  единиц (здесь он записан в инфиксной форме с опусканием скобок) будем обозначать символом k. Терм вида x + x + … + x, где x  переменная, имеющая в рассматриваемом терме k > 0 вхождений, обозначаем kx. Аналогично терм вида t + t +…+ t, имеющий k вхождений терма t, обозначаем kt. Терм вида 0  t, где t  произвольный терм, будем записывать как t.

Литералы, то есть атомарные формулы и их отрицания, могут иметь следующий вид

(r = s), (r < s), D_m(s), (r = s), (r < s), D_m(s)

где r и s произвольные термы. Атомарные формулы вида (r = s), (r < s) и D_m(s), будем называть соответственно равенствами, неравенствами и D-атомами.

Конституантой называем конъюнкцию литералов, представляющую логическое слагаемое в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) формулы, составленной из литералов.

Ввиду возможности приведения любой формулы к антипрефиксному виду, достаточно рассмотреть возможность элиминации квантора только для формул вида хA, где A бескванторная формула, составленная из литералов и представленная в виде ДНФ. Покажем, что формулу A можно преобразовать так, что каждая ее конституанта будет содержать не более одного нижнего, не более одного верхнего ограничения, а также не более одного D-атома.

Используя равносильности

(r = s)  (r < (s+1))  (s < (r+1))

(r = s)  (r < s)  (s < r)

D_m(s)  D_m(s+1)  D_m(s+2)  …  D_m(s+(m1)

можно любую ДНФ, составленную из литералов, превратить в ДНФ, не содержащую равенств и отрицаний.

Атомарную формулу представленную в виде (kx < t) будем называть верхним, а в виде (t < kx) нижним ограничением для переменной x, полагая, что t  терм, не содержащий переменной x, а k  терм вовсе не содержащий переменных.

Если в какой-либо конституанте есть подформула вида

(t₁ < k₁x)  (t₂ < k₂x),

состоящая из двух нижних ограничений, то заменим ее формулой

(t₁ < k₁x)  (k₁t₂ < k₂t₁)  (t₁ < k₁x)  (k₁t₂ = k₂t₁)  (t₂ < k₂x)  (k₂t₁ < k₁t₂),

затем, избавимся от равенств, как указано выше, и вновь приведем формулу к ДНФ. Применяя описанную процедуру, можно добиться того, что каждая конституанта в ДНФ будет содержать не более одного нижнего ограничения для переменной x. Аналогично поступаем и с верхними ограничениями.

Покажем теперь, как добиться того, чтобы каждая конституанта содержала не более одного D-атома, зависящего от переменной x.

Если в атомарной формуле вида D_m(s) терм s зависит от переменной x, то его представим в виде kx  t, где t не зависит от x. Для этого будем использовать соотношения

D_m(kx)  D_m(kx0)

D_m(kx)  D_m(kx0)

D_m(kx+t )  D_m(kx(t))

D_m(kx+t )  D_m(kxt)

Далее каждую атомарную подформулу вида D_m(kxt) заменим формулой

_{j = 0…m-1} [D_m(kx  j)  D_m(t  j)].

Тем самым все D-атомы, зависящие от переменной x, можно представить в виде D_m(kxi), где k, i  термы, представляющие натуральные числа.

Далее, соотношения

D_m(kxi)  _{j = 0…m-1} [D_m(kj  i)  D_m(x  j)]

позволяют избавиться от «коэффициента» k при переменной x в формулах вида D_m(kx  i). Заметим, что истинностное значение встречающихся здесь формул вида D_m(kj  i), вычисляется при конкретных значениях параметров m, k, i, j непосредственно с помощью арифметических операций.

Теперь нетрудно видеть, что формулу A можно представить в ДНФ, каждая конституанта которой содержит не более одного нижнего и не более одного верхнего ограничения для переменной x, а во всех ее D-атомах вида D_m(s) терм s имеет вид xi. Далее покажем, как добиться того, чтобы в каждой конституанте было не более одного D-атома

Каждую подформулу вида D_m(xi) заменяем формулой

D_q1(xi)  D_q2(xi)  … D_qn(xi),

где q₁, q₂, …, q_n сомножители в разложении числа m в произведение степеней простых попарно различных чисел p₁, p₂,…, p_n.

Предположим, что после таких замен в конституанте встретятся две подформулы вида

D_q (xi) и D_q'(xi_'),

где q= p^a, q_' = p^b  степени одного и того же простого числа p, пусть для определенности a  b. В таком случае в рассматриваемой конституанте заменяем D_q (xi) на D_q (i_'i). Повторяем такие замены до тех пор, пока каждая конституанта не предстанет в виде

D_q1(xi₁)  D_q2(xi₂)  … D_qk(xi_k) B, (*)

где все D-атомы сгруппированы слева, числа q₁q₂…q_k взаимно просты, а B остальная часть конституанты, не содержащая D-атомов.

Заменим i₁, i₂, …, i_k на i₁^*, i₂^*, … i_k^* где i₁^*, i₂^*, … i_k^*  остатки от деления i₁, i₂, …, i_k на q₁, q₂, …, q_k соответственно.

Пусть q = q₁q₂…q_k, тогда по китайской теореме об остатках существует q< q такое, что остаток от деления q на q_j равен i_j^* (j = 1, 2, …, k) и подформулу

D_q1(xi₁^*)  D_q2(xi₂^*)  … D_qk(xi_k^*)

заменяем формулой

D_q(x  q).

В результате рассмотренных преобразований каждая конституанта с предшествующим квантором существования по переменной x будет содержать не более одного нижнего ограничения вида (s < jx), не более одного верхнего ограничения вида kx < t, а также не более одного D-атома вида D_q(x  q). Таким образом, будем иметь дело с подформулой одного из следующих видов.

1. х[D_m(xi)  (s < jx)  (kx < t)]

2. х[(s < jx)  (kx < t)]

3. х[D_m(xi)  (kx < t)]

4. х[D_m(xi)  (s < jx)]

5. х D_m(xi)

6. х (s < jx)

7. х (kx < t)

В первом случае имеем

х[D_m(xi)  (s < jx)  (kx < t)]

х[D_jkm(jkxjki)  (ks < jkx)  (jkx < jt)]

х[D_jkm(xjki)  (ks < x)  (x < jt)]

х[D_m(xi)  (s < x)  (x < t)]

(s+1 < t)  D_m(s+1i)  (s+2<t) & D_m(s+2i)  …  (s+m <t) & D_m(s+mi),

где m = jkm, i = jki, s = ks, t = jt, тем самым переменная x исключена.

Во втором случае

х[(s < jx)  (kx < t)]

х[(ks < kjx)  (kjx < jt)]

D_jk(x0)  (ks < x)  (x < jt)] (такой случай уже был)

В третьем случае

х[D_m(xi)  kx < t]  (0 < 1)

Во всех остальных случаях также получаем (0 < 1). Аналогично, исключаются остальные кванторы.

Упражнения.

Элиминировать кванторы из следующих формул арифметики Пресбургера.

1. x [(y+z < x ) & (2x < 3y)] Ответ: 2z+2<y

2. x [(2y+z < 2x) & (x < y+2z)] Ответ: 0<z.

3. x [(y+3z < 2x) & (2x < 3y+z)]

4. x y (6y+4x3z = 0) Ответ: D₂(z).

5. x y (6y+4x1 = 0) Ответ: 0=1

6. x y (6y+5x7 = 0) Ответ: 0=0

7. x y z (6y+4x+12z = u+1) Ответ: D₂(u).

8. x y [(3x+4y=12) & (6x+2y = z)] Ответ:.

9. x [(2y+z < 2x) & (2x < 3y+z)& D₃(2x4)] Ответ: (1<y)& D₃(2y+z) (2<y)& D₃(2y+z2) (3<y)& D₃(2y+z1)

10. x y  [D₄(x2y) & D₃(3x2y)]

11. z y x [A  B  C], где A=[(z+2y<x) & (2x<2z+4y+3) & D₃(2xyz)], B=[(2zy<x) & (x<2z+2y) & (x<3z+y) & D₂(xyz)], C=[(7z3y<4x) & D₆(4x5y3z) & D₈(6x2)]