Министерство образования и науки

Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского

В.А.Таланов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

И

МОДЕЛИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Учебное пособие

Издательство Нижегородского университета

Н.Новгород, 1994

ББК В 12

Т 16

Рецензенты:

профессор В.А.Буевич

профессор В.М.Галкин

Таланов В.А.

Т 16 Математическая логика и модели вычислений: Учебное пособие.

Нижний Новгород: ИЗД.ННГУ,1994 - 116 с.

В учебном пособии содержатся начала логики предикатов и теории алгоритмов. Оно предназначено для студентов, обучающихся по специальности прикладная математика и информатика в рамках университетского учебного плана, содержащего курс "Дискретная математика". Основные понятия теории булевых функций из этого курса используются в ней без предварительного напоминания. Материал содержит примеры, иллюстрирующие основные понятия математической логики, и достаточно большое число упражнений.

T ----------------- ББК В 12

ISBN 5 - 230 - 04359 - 8  Таланов В.А., 1994г.

ВВЕДЕНИЕ

Математическая логика сформировалась как самостоятельный предмет к концу 19-го века. Ее развитию способствовали работы Буля (1815-1864), Фреге (1848-1925), Рассела (1872-1970), Гильберта (1862-1943). Различные элементы ее имелись в традиционной логике Аристотеля (384-322), в работах Лейбница (1646-1716) и других. Традиционная логика считается частью философии, в то время как математическая логика тесно связана с математикой по своим методам и применениям.

В математике утверждения формулируются на обычном, естественном языке с использованием, вводимых по мере необходимости математических символов. Искусственные логические языки, сформировавшиеся в рамках математической логики, позволяют формулировать математические утверждения с помощью некоторого числа специальных символов, не используя слов естественного языка. Наиболее популярным и развитым логическим языком является язык предикатов, который строится на базе небольшого числа специальных символов. Этот язык, называемый логическим языком первого порядка, составляет основу для многих исследований в области математической логики.

Поскольку естественный человеческий язык представляет собой достаточно сложное постоянно развивающееся общественное явление, трудно от его формальных моделей ждать полной адекватности. Рассматриваемый в математической логике язык служит для выражения утвердительных высказываний об объектах некоторой заданной совокупности и отношениях между ними. Предполагается, что каждому такому высказыванию в определенных условиях можно дать истинностную оценку, то есть считать данное высказывание истинным или ложным.

Исследования в математической логике возникли в основном из вопросов, связанных с обоснованиями математики. Например, Фреге предложил строить математику на логических и теоретико-множественных принципах. Рассел пытался устранить противоречие, которое возникло в системе Фреге. Гильберт видел свою задачу в том, чтобы показать, что обычно используемые методы математики не ведут к противоречию.

Современное развитие математической логики приобретает все более прикладную направленность. В частности это связано с развитием компьютерных технологий. Усиливается влияние математической логики в таких областях как представление знаний, разработка алгоритмов и алгоритмических языков.